Figure de dessiccation des \( n \mod k \)

Soit \( n \in \mathbb{N} \) et intéressons-nous à la suite \( (n \mod k)_{k \in \mathbb{N}^*} \).

Exemple : \( n = 4 \),

\[ 0, 0, 1, 0, 4, 4, 4, \dots \]

Remarquer qu'à partir de \( k = n + 1 \), la suite devient stationnaire. La suite est aussi tout à fait représentable à l'aide d'une suite de points reliés, comme ceci,

Maintenant, quand on passe à \( n + 1 \), la suite change relativement peu au fond. En effet, si \( n = 5 \), la suite devient

\[ 0, 1, 2, 1, 0, 5, 5, \dots \]

La superposition des 2 courbes cas \( n = 4 \) (en noir) et \( n = 5 \) (en rouge) sur un même graphique donne :

Quand \( n + 1 \) n'est pas divisible par \( k \), à moins que \( k \) ne vale \( 1 \), \( (n + 1) \mod k = (n \mod k) + 1 \).

Cela nous invite à décaler d'un cran vers le bas la courbe de \( n + 1 \) par rapport à celle de \( n \) : la ressemblance sera encore plus frappante,

Maintenant, l'idée est de généraliser cette superposition à tous les \( n \in \mathbb{N} \).

on prend la courbe \( n = 0 \) comme base : \( 0 \mod k = 0 \) pour tout \( k \), c'est donc l'axe des abscisses ;
la courbe \( n = 1\) est décalée de \( 1 \) vers le bas : c'est donc en fait la courbe des \( -1 + (1 \mod k) \) ;
la courbe \( n = 2\) est décalée de \( 2 \) vers le bas : c'est donc en fait la courbe des \( -2 + (2 \mod k) \) ;
etc.
pour tout \( n \), la courbe \( n \) est décalée de \( n \) vers le bas : c'est donc en fait la courbe des \( -n + (n \mod k) \).

Voilà ce que cela donne quand on superpose un grand nombre de courbes :

J'appelle l'image ci-dessus la "figure de dessiccation des \( n \mod k \)", parce qu'elle m'évoque ceci :

Il faut peut-être retravailler un peu l'image mathématique pour obtenir plus de ressemblance avec l'image de dessiccation réelle... Par exemple, en échangeant \( x \) et \( y \) et en recadrant,

... ou mieux encore, en opérant un cisaillemement \( x' = x/2 + y \) et une déformation \( y' = x \sqrt{x} \) :

Toujours est-il que la figure mathématique initiale permet de visualiser un certain nombre de choses. Pour ne pas s'encombrer de signes "-" partout, retournons l'axe des \( y \) : disons que les \( y \) sont croissants vers le bas (précisément comme dans le codage des images) et qu' \( y \) est une profondeur sous la surface de l'eau. Par conséquent, les fonctions superposées représentées sont en fait les \( n - (n \mod k) \), avec points reliés.

Les points de jonction des segments de droite sont globalement tous les points de coordonnées \( (d, n) \), avec \( n \in \mathbb{N} \) et \( d \) diviseur de \( n \).

L'ampleur en \( x \) de la "baie n° \( n \)", i.e. la zone non fermée dont \( (1, (n-1)) \leftrightarrow (1, n) \) est l'embouchure, est \( A055874(n) \) c'est-à-dire le plus grand \( D \) tels que \( 1, 2, \dots, D \) divisent tous \( n \).

Un certain nombre de demi-droites de pentes \( 0, 1, 2, \dots, n \) prennent naissance en \( (n, \mbox{A002378}(n)) \), où \(\mbox{A002378}(n) = n(n+1)\) sont les nombres proniques ;

Il a des liens avec les nombres de "Mancala" / le "crible de Tchoukaillon". Cf. A082447, A002491, A007952, A028913 sur OEIS :

le chemin qui partant de \( (1, n) \) remonte à la surface ( \( y = 0 \) ) emprunte exactement \( \mbox{A082447}(n) \) segments (et émerge donc en \( x = \mbox{A082447}(n) + 1 \)) ;
pris en sens inverse, i.e. si on replonge en \( (n, 0) \) pour nager vers \( x = 1 \) en ne suivant que des traits qui descendent, alors
- la plus petite profondeur atteignable est \( \mbox{A002491}(n) \) ;
- la plus grande profondeur atteignable est \( \mbox{A007952}(n) \) ;
- le nombre de profondeurs atteignables est \( \mbox{A028913}(n) \) ( c'est le nombre d'antécédants par A082447).

En 2018, m'appuyant sur ce schéma, j'ai créé l'entrée OEIS A318126 : a(n) est le nombre de morceaux de la fonction continue et affine par morceaux qui concorde avec \( (n \mod k) \) pour tout \( k \).

Ce schéma me fascine. Je suis certain qu'il y a encore énormément de choses à en dire !

LR, 18/06/2022.