Définissons une famille de polynômes \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}} \), et sa famille miroir \( (Q_n)_{n \in \mathbb{N}} \) comme ceci :
\[ P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n = \sum_{k=0}^n a_k x^k \] \[ Q_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_n = \sum_{k=0}^n a_{n-k} x^k \]Définissons le produit scalaire de 2 polynômes comme ceci :
\[ \lt P, Q \gt = \int_{0}^{1} P(x) Q(x) dx \]Posons \( a_0 = 1 \). Pour successivement chaque \( n \geq 1 \), nous souhaitons que \( a_n \) soit choisi tel que \( \lt P_n, Q_n \gt \) soit extrémal en la variable \( a_n \).
Motivation ? Pure curiosité.
Partons de :
\[ \lt P_n, Q_n \gt = \int_{0}^{1} ( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n ) ( a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_n ) dx \]Adoptons la notation implicite sous le signe "somme" que
Alors
\[ \lt P_n, Q_n \gt = \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{2n} \left ( \sum_{i+j=k} a_i a_{n - j} \right ) x^k dx \] \[ \lt P_n, Q_n \gt = \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{k + 1} \left ( \sum_{i+j=k} a_i a_{n - j} \right ) \]Isolons le coefficient \( a_n \), et regroupons les termes en fonction de leur "sorte" parmi 3 possibilités :
Comme une dérivée par rapport à \( a_n \) va être calculée, la somme des termes constants n'a pas d'importance. On se focalise sur les deux autres.
\[ \lt P_n, Q_n \gt = \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{k + 1} \left ( C_k^{\mbox{onstante}} + \sum_{\substack{i + j = k\\i = n\\j \neq 0\\}} a_i a_{n-j} + \sum_{\substack{i + j = k\\i \neq n\\j = 0\\}} a_i a_{n-j} + \sum_{\substack{i + j = k\\i = n\\j = 0\\}} a_i a_{n-j} \right ) \]Réécriture avec la notation du crochet d'Iverson :
\[ \lt P_n, Q_n \gt = \sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{k + 1} \left ( C + [ k \neq n ] a_{2n-k} a_n + [ k \neq n ] a_k a_n + [ k = n ] a_n^2 \right ) \]Dérivons par rapport à \( a_n \) et réintégrons la contrainte \( k \neq n \) sous le signe somme :
\[ \frac{ \partial \lt P_n, Q_n \gt }{\partial a_n} = \left ( \sum_{\substack{0 \le k \le 2n \\ k \neq n \\}} \frac{a_{2n-k}+a_k}{k+1} \right ) + 2 \frac{a_n}{n + 1} \]\( \lt P_n, Q_n \gt \) devant être extrémal, le membre de droite ci-dessus doit être égal à \( 0 \) ; on obtient l'égalité :
\[ a_n = - \frac{n + 1}{2} \sum_{\substack{0 \le k \le 2n \\ k \neq n \\}} \frac{a_{2n-k}+a_k}{k+1} \]Dans chaque terme de la somme ci-dessus, (\(a_{2n-k}\) est nul ou \(a_k\) est nul (compte tenu de nos notations implicites), mais pas les deux. On peut réécrire plus proprement grâce à la symétrie \( k \leftrightarrow 2n -k \) :
\[ a_n = - \frac{n + 1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} \left ( \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{2n - k + 1} \right) a_k \]La réduction au même dénominateur donne :
\[ \bbox[5px, border: 2px solid red]{ a_n = - (n + 1)^2 \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{a_k}{(k + 1)(2n - k + 1)} } (1) \]Définissons :
\[ P_n(x, h) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + (a_n + h) x^n \]et
\[ Q_n(x, h) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + (a_n + h) \]Considérons le produit scalaire :
\[ \lt P(\cdot, h), Q(\cdot, h) \gt = \int_{0}^{1} P(x,h) Q(x,h) dx \] \[ \lt P(\cdot, h), Q(\cdot, h) \gt = \int_{0}^{1} (P(x) + h x^n)(Q(x) + h) dx \] \[ \lt P(\cdot, h), Q(\cdot, h) \gt = \int_{0}^{1} P(x)Q(x) dx + h \int_{0}^{1} \left ( x^n Q_n(x) + P_n(x) \right) dx + h^2 \int_{0}^{1} x^n dx \]Il est équivalent de dire :
Etant donné la fonction quadratique en \( h \) ci-dessus, pour que cette fonction atteigne son extrémum (et on peut même préciser qu'il s'agit d'un minimum) en \( h = 0 \), il faut et il suffit que le coefficient de \( h \) soit nul,
\[ \int_{0}^{1} \left ( x^n Q_n(x) + P_n(x) \right) dx = 0 \]Quand on mène jusqu'au bout le calcul, on obtient le même résultat (1).
\( a_0 = 1\),
et pour successivement chaque \( n \geq 1 \), \( a_n \) est choisi tel que
\[ \int_{0}^{1} \left ( x^n Q_n(x) + P_n(x) \right) dx = 0 \]Codage en PARI/GP :
a(n)=if(n==0,1,-(n+1)^2*sum(k=0,n-1,a(k)/(k+1)/(2*n-k+1)))
| \( n \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) | \( 4 \) | \( 5 \) | \( 6 \) | \( 7 \) | \( 8 \) | \( 9 \) | \( 10 \) | \( 11 \) | \( 12 \) | \( 13 \) | \( 14 \) | \( 15 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( a_n \) | \( 1 \) | \(- \frac{4}{3}\) | \(- \frac{3}{10}\) | \(- \frac{296}{1575}\) | \(- \frac{107}{756}\) | \(- \frac{4678}{40425}\) | \(- \frac{3443113}{34749000}\) | \(- \frac{33472184}{383107725}\) | \(- \frac{99331241}{1263512250}\) | \(- \frac{58688850841307}{817525757203155}\) | \(- \frac{383915420742449}{5791209614190000}\) | \(- \frac{4403037478864090498}{71295058742758475625}\) | \(- \frac{12565834691585394604513}{216871975138918799700000}\) | \(- \frac{38341377552565017110639}{701237827776988720968750}\) | \(- \frac{2373290421401521376710506739}{45775109960044887340999080000}\) | \(- \frac{414478490162450628472878954828596}{8396102854495623892647462893578125}\) |
Si \( a_0 \) n'est pas choisi égal à \( 1 \) mais à, disons, \( c \), alors les \( a_n \) deviennent les \( c a_n \). Démonstration par récurrence à l'aide de la formule de récurrence.
Probablement aucun !
LR, 06/07/2025