Dérivées successives de \( f(1/x-x) \) en \( 1 \)
1. Définitions et objectifs
L'objectif de départ est le suivant : soit la fonction :
\[
\begin{array}{ccc}
g : & \mathbb{R}^{*} & \to & \mathbb{R} \\
& x & \mapsto & g(x) \\
\end{array}
\]
\[ g(x) = \ln \left ( 1 + \exp \left ( 1/x - x \right ) \right ) \]
On s'intéresse à la suite définie pour \( n \geq 1 \) par :
\[ a(n) := g^{(n)}(1) \]
En particulier, nous voulons montrer que c'est une suite de nombres entiers et obtenir une formule explicite pour \( a(n) \).
L'objectif est ensuite élargi comme suit : soit \( f \) une fonction.
On définit \( G(f) \) comme étant une autre fonction, satisfaisant :
\[ G(f) (x) = f \left (\frac{1}{x} - x \right) \]
On s'intéresse ensuite aux nombres
\( G(f)^{(n)}(1) \), valeur en \( 1 \) de la dérivée n-ième de \( G(f) \),
\( G(f)^{(n)}(-1) \), valeur en \( -1 \) de la dérivée n-ième de \( G(f) \),
en cherchant les relations que ces nombres entretiennent entre eux.
L'objectif de départ s'inscrit dans l'objectif élargi en prenant pour fonction particulière
\[ f(x) = \ln \left ( 1 + e^x \right ) \]
Les chapitres 2, 3, 4 étudient le cas particulier.
Les chapitres 5 et suivants étudient le cas général.
2. Formule pour \( g^{(n)}(x) \)
Soit :
\[ g(x) = \ln \left ( 1 + \exp \left ( 1/x - x \right ) \right ) \]
2.1 Proposition
Pour tout \( n \geq 1 \),
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(x) = (-1)^n \frac { \sum_{k=0}^{n} P_{n,k}(x) \exp(x)^{n-k} \exp(1/x)^{k} }{ \left ( \exp(x) + \exp(1/x) \right )^n x^{2n} } } (0) \]
où chaque \( P_{n,k} \) est un polynôme de degré au plus \( 2n \).
C'est volontairement que nous avons écrit cette formule sous cette forme peu naturelle, pour évoquer la formule du binôme de Newton au numérateur.
2.2 Démonstration
On procède par récurrence sur \( n \).
Tout d'abord, la proposition est vraie pour \( n = 1 \). En effet,
\[ g^{(1)}(x) = g'(x) = \frac{(-1/x^2 -1) \exp(1/x - x) }{1 + \exp(1/x - x) } = - \frac{(x^2 + 1) \exp(1/x)}{\left ( \exp(x) + \exp(1/x) \right ) x^2 } \]
Au passage, on identifie \( P_{1,0}(x) = 0 \) et \( P_{1,1}(x) = x^2 + 1 \).
Ensuite, supposons maintenant la proposition vraie au rang \( n \). Démontrons qu'elle l'est encore au rang \( n + 1 \). Posons :
\[ E_{n,k}(x) := \exp(x)^{n-k} \exp(1/x)^{k} = e^{(n-k)x + \frac{k}{x}} \]
\[ D_{n}(x) := \left ( \exp(x) + \exp(1/x) \right ) ^{-n} x^{-2n} \]
de telle sorte que
\[ g^{(n)} = (-1)^n \left ( D_n \sum_{k=0}^{n} P_{n,k} E_{n,k} \right ) \]
\[ g^{(n + 1)} = (-1)^n \left ( D_n \sum_{k=0}^{n} P_{n,k} E_{n,k} \right )' \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n + 1)} = (-1)^n \left ( D'_n \sum_{k=0}^{n} P_{n,k} E_{n,k} + D_n \sum_{k=0}^{n} \left ( P'_{n,k} E_{n,k} + P_{n,k} E'_{n,k} \right ) \right )} (1) \]
Nous allons transformer l'équation (1) en faisant disparaître les \( D_n, D'_n, E_{n,k}, E'_{n,k} \) et en faisant apparaître des \( D_{n+1}, E_{n+1,k} \) à la place.
Concernant \( D'_n \) : le logiciel de calcul formel Maxima nous vient en aide et dit :
\[ D'_n = - n \left ( \left ( x^2 + 2x \right ) \exp(x) + \left ( 2x - 1 \right ) \exp ( 1 / x ) \right ) \left ( \exp ( x ) + \exp ( 1 / x ) \right ) ^ { -(n+1) } x ^ { -2 ( n + 1) } \]
Par conséquent, \( D'_n \) se ramène à du \( D_{n+1} \) :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black] { D'_n = - n \left ( \left ( x^2 + 2x \right ) e^x + \left ( 2x - 1 \right ) e^{1 / x} \right ) D_{n+1} } (2) \]
Concernant \( D_n \) : il est clair que
\[ D_n = (D_1)^n \]
Par conséquent,
\[ \frac{D_{n+1}}{D_n} = D_1 = \frac{1}{x^2 \left ( e^x + e^{1/x} \right ) } \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black] { D_n = x^2 \left ( e^x + e^{1/x} \right ) D_{n+1} } (4) \]
Concernant \( E'_{n,k} \) : la dérivation de \( E_{n,k} \) donne immédiatement
\[ E'_{n,k} = \left ( -\frac{k}{x^2} + n - k \right ) e^{(n-k)x + \frac{k}{x}} \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black] { E'_{n,k} = \left ( -\frac{k}{x^2} + n - k \right ) E_{n,k} } (3) \]
Concernant \( E_{n,k} \), nous aurons besoin de deux formules.
\[ E_{n+1,k} = e^{(n+1-k)x + \frac{k}{x}} = e^x e^{(n-k)x + \frac{k}{x}} = e^x E_{n,k} \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black] { e^x E_{n,k} = E_{n+1,k} } (5a) \]
Et
\[ E_{n,k} = e^{(n-k)x + \frac{k}{x}} = e^{((n+1)-(k+1))x + \frac{k+1}{x}} e^{-\frac{1}{x}} = E_{n+1,k+1} e^{-\frac{1}{x}} \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black] { e^{1/x} E_{n,k} = E_{n+1,k+1} } (5b) \]
En injectant (2), (3) et (4) dans (1), et en passant côté gauche quelques facteurs gênants, on obtient :
\[
(-1)^n \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
-n \left ( (x^2 + 2x) e^x + (2x - 1) e^{1/x} \right ) \sum_{k=0}^n P_{n,k} E_{n,k}
+ x^2 \left ( e^x + e^{1/x} \right ) \sum_{k=0}^n \left ( P'_{n,k} + \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) P_{n,k} \right ) E_{n,k}
\]
On règle son compte au facteur \( -1 \)
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
n \left ( (x^2 + 2x) e^x + (2x - 1) e^{1/x} \right ) \sum_{k=0}^n P_{n,k} E_{n,k}
- x^2 \left ( e^x + e^{1/x} \right ) \sum_{k=0}^n \left ( P'_{n,k} + \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) P_{n,k} \right ) E_{n,k}
\]
On réorganise les sommes en séparant les \( e^x \) des \( e^{1/x} \)
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^n \left ( n (x^2 + 2x) P_{n,k} - x^2 \left ( P'_{n,k} + \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) P_{n,k} \right ) \right ) e^x E_{n,k}
+
\sum_{k=0}^n \left ( n (2x - 1) P_{n,k} - x^2 \left ( P'_{n,k} + \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) P_{n,k} \right ) \right ) e^{1/x} E_{n,k}
\]
On utilise (5a) et (5b),
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^n \left ( n (x^2 + 2x) P_{n,k} - x^2 \left ( P'_{n,k} + P_{n,k} \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) \right ) \right ) E_{n+1,k}
+
\sum_{k=0}^n \left ( n (2x - 1) P_{n,k} - x^2 \left ( P'_{n,k} + P_{n,k} \left ( - \frac{k}{x^2} + n - k \right ) \right ) \right ) E_{n+1,k+1}
\]
On opère quelques simplifications
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^n \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( nx^2 + 2 n x + k -n x^2 + k x^2 \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k}
+
\sum_{k=0}^n \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( 2 n x - n + k -n x^2 + k x^2 \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k+1}
\]
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^n \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( k (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k}
+
\sum_{k=0}^n \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( (k-n) (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k+1}
\]
On procède à un changement d'indice de sommation dans la deuxième somme : \( l = k + 1 \) ; la variable \( l \) étant muette, on la renomme \( k \),
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^n \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( k (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k}
+
\sum_{k=1}^{n+1} \left ( -x^2 P'_{n,k-1} + \left ( (k-1-n) (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k-1} \right ) E_{n+1,k}
\]
On décrète (convention) que pour tout \( k \) en dehors de \( \{ 0, 1, \dots, n \} \), \( P_{n,k} = 0 \), de façon à pouvoir aligner les intervalles de sommation,
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^{n+1} \left ( -x^2 P'_{n,k} + \left ( k (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k}
+
\sum_{k=0}^{n+1} \left ( -x^2 P'_{n,k-1} + \left ( (k-1-n) (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k-1} \right ) E_{n+1,k}
\]
On peut alors regrouper les sommes,
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^{n+1} \left ( -x^2 \left ( P'_{n,k-1} + P'_{n,k} \right ) + \left ( (k-1-n) (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k-1} + \left ( k (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} \right ) E_{n+1,k}
\]
On choisit alors la relation de récurrence :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ P_{n+1,k} = -x^2 \left ( P'_{n,k-1} + P'_{n,k} \right ) + \left ( (k-1-n) (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k-1} + \left ( k (x^2 + 1) + 2 n x \right ) P_{n,k} } (6) \]
on peut alors écrire
\[
(-1)^{n+1} \frac{g^{(n+1)}}{D_{n+1}} =
\sum_{k=0}^{n+1} P_{n+1,k} E_{n+1,k}
\]
\[
g^{(n+1)} = (-1)^{n+1} D_{n+1} \sum_{k=0}^{n+1} P_{n+1,k} E_{n+1,k}
\]
ce qui est la forme recherchée. La formule de récurrence montre que les \( P_{n+1,k} \) sont bien des polynômes ;
le degré de \( P_{n+1,k} \) est au plus deux de plus que le degré des \( P_{n, j} \), qui sont eux-mêmes de degré \( \leq 2n \) par hypothèse de récurrence ;
donc le degré de \( P_{n+1,k} \) est au plus \( 2n + 2 = 2(n+1) \), ce qui achève la démonstration.
\[ \square \]
Rappel de la formule démontrée :
\[ \forall n \geq 1, \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(x) = (-1)^n \frac { \sum_{k=0}^{n} P_{n,k}(x) e^{(n-k)x + k/x }}{ \left ( e^x + e^{1/x} \right )^n x^{2n} } } (0) \]
Remarque : le terme d'indice \( k = 0 \) dans la somme est omissible car quel que soit \( n \), \( P_{n,0} = 0 \). Démontré par récurrence, partant de \( P_{1,0} = 0 \) déjà démontré, et application de (6).
\[ \forall n \geq 1, \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(x) = (-1)^n \frac { \sum_{k=1}^{n} P_{n,k}(x) e^{(n-k)x + k/x }}{ \left ( e^x + e^{1/x} \right )^n x^{2n} } } (7) \]
2.3 Vérifications
Quelques vérifications automatisées. Transcription en PARI/GP de la formule (6).
P(n,k)=if(k<1||k>n,0,if(n==1,x^2+1,-(x^2*(P(n-1,k-1)'+P(n-1,k)')+((n-k)*(x^2+1)-2*(n-1)*x)*P(n-1,k-1)-(k*(x^2+1)+2*(n-1)*x)*P(n-1,k))))
for(n=1,4,for(k=1,n,print1(P(n,k)," | "));print1("\n"))
x^2 + 1 |
x^4 + 2*x^2 + 2*x + 1 | 2*x |
x^6 + 3*x^4 + 6*x^3 + 9*x^2 + 6*x + 1 | -x^6 - 3*x^4 + 6*x^3 + 9*x^2 + 6*x - 1 | 6*x^2 |
x^8 + 4*x^6 + 12*x^5 + 30*x^4 + 48*x^3 + 40*x^2 + 12*x + 1 | -4*x^8 - 16*x^6 + 24*x^4 + 72*x^3 + 56*x^2 - 4 | x^8 + 4*x^6 - 12*x^5 + 30*x^4 + 48*x^3 + 40*x^2 - 12*x + 1 | 24*x^3 |
1 0 1 1 0 2 2 2 0 0 0 1 0 1 -1 0 6 6 0 9 9 6 6 6 0 3 -3 0 0 0 0 1 -1 0 1 -4 1 0 12 0 -12 0 40 56 40 0 48 72 48 24 30 24 30 0 12 0 -12 0 4 -16 4 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 1 -11 11 -1 0 20 -60 -60 20 0 125 65 -65 -125 0 300 540 540 300 0 310 550 650 290 120 180 180 180 180 0 70 -50 50 -70 0 20 -60 -60 20 0 5 -55 55 -5 0 0 0 0 0 0 1 -11 11 -1 0 1 -26 66 -26 1 0 30 -300 0 300 -30 0 306 -756 -1404 -756 306 0 1320 1200 0 -1200 -1320 0 2535 5370 7470 5370 2535 0 2340 4680 7200 6120 1980 720 1280 1280 2400 1280 1280 0 480 -480 0 480 -480 0 135 -630 270 -630 135 0 30 -300 0 300 -30 0 6 -156 396 -156 6 0 0 0 0 0 0 0 1 -26 66 -26 1 0 1 -57 302 -302 57 -1 0 42 -1050 1680 1680 -1050 42 0 637 -6069 -4186 4186 6069 -637 0 4410 -9450 -25200 -25200 -9450 4410 0 14721 17703 10542 -10542 -17703 -14721 0 23940 56700 100800 100800 56700 23940 0 20195 43365 86170 90230 62475 15085 5040 10500 9660 26880 26880 9660 10500 0 3815 -5775 3010 -3010 5775 -3815 0 1050 -6090 1680 1680 -6090 1050 0 231 -3087 4242 -4242 3087 -231 0 42 -1050 1680 1680 -1050 42 0 7 -399 2114 -2114 399 -7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -57 302 -302 57 -1 0 1 -120 1191 -2416 1191 -120 1 0 56 -3136 13720 0 -13720 3136 -56 0 1184 -29184 27168 74752 27168 -29184 1184 0 12096 -112896 -141120 0 141120 112896 -12096 0 63868 -124320 -420252 -605248 -420252 -124320 63868 0 175560 248640 273000 0 -273000 -248640 -175560 0 250376 638400 1402296 1746304 1402296 638400 250376 0 196000 434560 1087520 1411200 1170400 694400 126560 40320 97510 72240 335370 368480 335370 72240 97510 0 34440 -73920 51240 0 -51240 73920 -34440 0 9296 -67200 44016 -41216 44016 -67200 9296 0 2016 -32256 50400 0 -50400 32256 -2016 0 364 -11424 38388 -40768 38388 -11424 364 0 56 -3136 13720 0 -13720 3136 -56 0 8 -960 9528 -19328 9528 -960 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -120 1191 -2416 1191 -120 1 0 1 -247 4293 -15619 15619 -4293 247 -1 0 72 -8568 77112 -88200 -88200 77112 -8568 72 0 2025 -113103 419661 353349 -353349 -419661 113103 -2025 0 28728 -709128 285768 2063880 2063880 285768 -709128 28728 0 222300 -2072772 -3560436 -1991124 1991124 3560436 2072772 -222300 0 954072 -1767528 -6953688 -12965400 -12965400 -6953688 -1767528 954072 0 2245404 3494652 5599692 2657004 -2657004 -5599692 -3494652 -2245404 0 2875320 7653240 20389320 30328200 30328200 20389320 7653240 2875320 0 2111886 4661118 14647878 22259286 23463594 15834042 8402562 1154034 362880 1010520 466200 4513320 5581800 5581800 4513320 466200 1010520 0 347886 -1013922 949158 -229194 229194 -949158 1013922 -347886 0 92232 -814968 802872 -491400 -491400 802872 -814968 92232 0 19740 -376068 809676 -487956 487956 -809676 376068 -19740 0 3528 -129528 512568 -330120 -330120 512568 -129528 3528 0 540 -36612 249804 -438804 438804 -249804 36612 -540 0 72 -8568 77112 -88200 -88200 77112 -8568 72 0 9 -2223 38637 -140571 140571 -38637 2223 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -247 4293 -15619 15619 -4293 247 -1 0 1 -502 14608 -88234 156190 -88234 14608 -502 1 0 90 -22140 364140 -1019340 0 1019340 -364140 22140 -90 0 3250 -387340 3230560 -1381300 -6376100 -1381300 3230560 -387340 3250 0 61200 -3443040 11017440 18093600 0 -18093600 -11017440 3443040 -61200 0 655245 -16372350 -471600 47538270 78294150 47538270 -471600 -16372350 655245 0 4095000 -38722320 -81532080 -81320400 0 81320400 81532080 38722320 -4095000 0 14870640 -27472800 -117211200 -268520160 -343759200 -268520160 -117211200 -27472800 14870640 0 30774240 50016960 108239040 87917760 0 -87917760 -108239040 -50016960 -30774240 0 35985810 97267380 312120480 536072460 646671900 536072460 312120480 97267380 35985810 0 25004700 52882200 210961800 363295800 457228800 398752200 224494200 110413800 11283300 3628800 11554452 906696 66076416 85394232 108785880 85394232 66076416 906696 11554452 0 3885840 -14847840 17871840 -5775840 0 5775840 -17871840 14847840 -3885840 0 1013250 -10780140 14921760 -11241300 291900 -11241300 14921760 -10780140 1013250 0 214200 -4793040 13159440 -9248400 0 9248400 -13159440 4793040 -214200 0 37920 -1617600 7982400 -9151680 5966400 -9151680 7982400 -1617600 37920 0 5760 -449280 3588480 -5967360 0 5967360 -3588480 449280 -5760 0 765 -107550 1342800 -4081410 5264550 -4081410 1342800 -107550 765 0 90 -22140 364140 -1019340 0 1019340 -364140 22140 -90 0 10 -5020 146080 -882340 1561900 -882340 146080 -5020 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -502 14608 -88234 156190 -88234 14608 -502 1 0
Cela concorde avec les calculs symboliques (Maxima)
g(x):=log(1+exp(1/x-x))
gfactor(diff(g(x),x,1))
gfactor(diff(g(x),x,2))
gfactor(diff(g(x),x,3))
gfactor(diff(g(x),x,4))
Mise en forme pour \( 1 \leq k \leq n \leq 4 \) :
\( P_{n,k}(x) \)
\( k = 1 \)
\( k = 2 \)
\( k = 3 \)
\( k = 4 \)
\( n = 1 \)
\( x^2 + 1 \)
\( n = 2 \)
\( x^4 + 2x^2 + 2x + 1 \)
\( 2x \)
\( n = 3 \)
\( x^6 + 3x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 6x + 1 \)
\( -x^6 - 3x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 6x - 1 \)
\( 6x^2 \)
\( n = 4 \)
\( x^8 + 4x^6 + 12x^5 + 30x^4 + 48x^3 + 40x^2 + 12x + 1 \)
\( -4x^8 - 16x^6 + 24x^4 + 72x^3 + 56x^2 - 4 \)
\( x^8 + 4x^6 - 12x^5 + 30x^4 + 48x^3 + 40x^2 - 12x + 1 \)
\( 24x^3 \)
3. Formule pour \( a(n) \)
La formule (7) appliquée à \( x = 1 \) donne :
\[ a(n) = (-1)^n \frac { \sum_{k=1}^{n} P_{n,k}(1) e^{(n-k) + k }}{ \left ( e^1 + e^{1} \right )^n 1^{2n} } = (-1)^n \frac { \sum_{k=1}^{n} P_{n,k}(1) e^n}{ 2^n e^n } = (-1)^n \frac { \sum_{k=1}^{n} P_{n,k}(1)}{ 2^n } \]
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a(n) = \left (-\frac{1}{2} \right )^n \sum_{k=1}^{n} P_{n,k}(1) } (8) \]
4. Calcul des coefficients des \( P_{n,k} \)
Posons :
\[ P_{n,k}(x) = \sum_{i=0}^{2n} p_{n,k,i} x^i \]
Noter que \( 2n \) n'est pas nécessairement le degré de \( P_{n,k} \) ; donc n'importe quel \( p_{n,k,i} \) peut a priori valoir \( 0 \).
Notre objectif est, partant de l'équation (6), obtenir une formule de récurrence permettant de calculer les \( p_{n+1,k,i} \) en fonction des \( p_{n,k,i} \).
On commence par observer que
\[ P'_{n,k} = \sum_{i=1}^{2n} p_{n,k,i} i x^{i-1} = \sum_{i=0}^{2n-1} p_{n,k,i+1} (i + 1) x^i \]
Ensuite, (6) permet d'écrire :
\[ P_{n+1,k}(x) =
\left ( \sum_{i=0}^{2n-1} \left( -p_{n,k-1,i+1} -p_{n,k,i+1} \right ) (i+1) x^{i+2} \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} \left( k-1-n \right) p_{n,k-1,i} x^{i+2} \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} k p_{n,k,i} x^{i+2} \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} 2n p_{n,k-1,i} x^{i+1} \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} 2n p_{n,k,i} x^{i+1} \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} \left( k-1-n \right) p_{n,k-1,i} x^i \right )
+ \left ( \sum_{i=0}^{2n} k p_{n,k,i} x^i \right )
\]
Convenons du fait que \( p_{n,k,i} = 0 \) dès lors que \( i \lt 0 \) ou \( i \gt 2n \). On peut alors remanier les indices de sommation pour obtenir :
\[ P_{n+1,k}(x) = \sum_{i=0}^{2(n+1)} p_{n+1,k,i} x^i \]
avec \( p_{n+1,k,i} \) égal à la somme de 6 contributions :
\[ p_{n+1,k,i} =
\begin{array}{|c|c|}
\hline
+(k-1-n) p_{n,k-1,i-2} & + k p_{n,k,i-2} \\
\hline
+(2n-i+1) p_{n,k-1,i-1} & + (2n-i+1) p_{n,k,i-1} \\
\hline
+(k-1-n) p_{n,k-1,i} & + k p_{n,k,i} \\
\hline
\end{array}
\]
Sous forme abrégée :
\[ p_{n+1,\cdot,\cdot} =
\begin{array}{|c|c|}
\hline
k-1-n & k \\
\hline
2n-i+1 & 2n-i+1 \\
\hline
k-1-n & \enclose{circle}{ k } \\
\hline
\end{array}
p_{n,\cdot,\cdot}
\]
(C'est une notation personnelle.
le cercle est une ancre : il indique la case où il n'y a pas de décalage pour les 2ème et 3ème indices ( \( k \) et \( i \) ) ;
vers la gauche du cercle, le 2ème indice \( k \) se décrémente (vers la droite, il s'incrémenterait) ;
en montant au-dessus du cercle, le 3ème indice \( i \) se décrémente (en descendant au-dessous, il s'incrémenterait).
)
A poursuivre...
LR, 30/12/2021.
5. Cas général :
Soit \( f \) une fonction (pas nécessairement \( \ln ( 1 + e^x ) \) ), et soit \( G(f) \) la fonction \( g \) définie par
\[ g(x) = f\left(\frac{1}{x} - x \right) \]
Plusieurs champs d'investigation sont intéressants,
exprimer les \( g^{(n)}(x) \) en fonction des \( f^{(n)}(1/x-x) \) -- les coefficients sont des fractions rationnelles ;
exprimer les \( g^{(n)}(1) \) en fonction des \( f^{(n)}(0) \)
exprimer les \( g^{(n)}(-x) \) en fonction des \( g^{(n)}(1/x) \)
exprimer les \( g^{(n)}(1/x) \) en fonction des \( g^{(n)}(-x) \)
5.1 les \( g^{(n)}(x) \) en fonction des \( f^{(n)}(1/x-x) \)
On dérive :
\[ g'(x) = \left ( - \frac{1}{x^2} - 1 \right ) f'\left(\frac{1}{x} - x \right) \]
A poursuivre ...
5.2 les \( g^{(n)}(1) \) en fonction des \( f^{(n)}(0) \)
On évalue les résultats du §5.1 en \( x = 1 \) :
\[ g'(1) = - 2 f'(0) \]
A poursuivre ...
5.3 les \( g^{(n)}(-x) \) en fonction des \( g^{(n)}(1/x) \)
Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), on a :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(-x) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) x^{-n-k} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) } (A) \]
En particulier pour \( x = 1 \), on a :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(-1) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) g^{(k)}\left(1\right) } \]
où \( L(n,k) \) est le nombre de Lah de rang (n, k) non signé. Cf. OEIS A105278
Les nombres de Lah \( L(n,k) \) :
\[
\begin{array}{|r|r|r|}
\hline
1 \\
\hline
2& 1 \\
\hline
6& 6& 1 \\
\hline
24& 36& 12& 1 \\
\hline
120& 240& 120& 20& 1 \\
\hline
720& 1800& 1200& 300& 30& 1 \\
\hline
5040& 15120& 12600& 4200& 630& 42& 1 \\
\hline
40320& 141120& 141120& 58800& 11760& 1176& 56& 1 \\
\hline
362880&1451520&1693440&846720&211680&28224&2016&72& 1 \\
\hline
\dots \\
\hline
\end{array}
\]
Démonstration
Repartant de
\[ g(x) = f\left(\frac{1}{x} - x \right) \]
On constate que
\[ g\left(-x\right) = g\left(\frac{1}{x} \right) \]
On dérive,
\[ -g'\left(-x\right) = -\frac{1}{x^2} g'\left(\frac{1}{x} \right) \]
\[
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g'\left(-x\right) = x^{-2} g'\left(x^{-1} \right) }
\rightarrow
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g'\left(-1\right) = g'\left(1\right) }
\]
\[ -g''\left(-x\right) = -2 x^{-3} g'\left(x^{-1}\right) + x^{-2} \left ( -x^{-2} \right ) g''\left(x^{-1}\right) \]
\[
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g''\left(-x\right) = 2 x^{-3} g'\left(x^{-1}\right) + x^{-4} g''\left(x^{-1}\right) }
\rightarrow
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g''\left(-1\right) = 2 g'\left(1\right) + g''\left(1\right) }
\]
\[ -g'''\left(-x\right) = 2 (-3) x^{-4} g'\left(x^{-1}\right) + 2 x^{-3} (-x^{-2}) g''\left(x^{-1}\right) + (-4 x^{-5}) g''\left(x^{-1}\right) + x^{-4} (-x^{-2}) g'''\left(x^{-1}\right) \]
\[
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g'''\left(-x\right) = 6 x^{-4} g'\left(x^{-1}\right) + 6 x^{-5} g''\left(x^{-1}\right) + x^{-6} g'''\left(x^{-1}\right) }
\rightarrow
\bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g'''\left(-1\right) = 6 g'\left(1\right) + 6 g''\left(1\right) + g'''\left(1\right) }
\]
... commencent à poindre les nombres de Lah,
\[
\left[ \begin{array}{c}
g^{(1)}(-1) \\
g^{(2)}(-1) \\
g^{(3)}(-1) \\
\dots \\
\end{array} \right]
=
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & & \\
2 & 1 & \\
6 & 6 & 1 \\
\dots \\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
g^{(1)}(1) \\
g^{(2)}(1) \\
g^{(3)}(1) \\
\dots \\
\end{array} \right]
\]
Pour démontrer qu'il s'agit bien des nombres de Lah : raisonnement par récurrence. Ce sont bien les nombres de Lah pour \( n = 1 \). Maintenant, supposons que ce soit vrai au rang \( n \), i.e.
\[ g^{(n)}(-x) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) x^{-n-k} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
où \( L(n,k) \) est le nombre de Lah de rang (n, k) non signé.
On dérive,
\[ -g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) \left( -n -k \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) + L(n,k) x^{-n-k} \left ( -x^{-2} \right ) g^{(k+1)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
On se débarrasse du signe \( - \), on découpe en 2 sommes,
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) \left( n + k \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) + \sum_{k=1}^{n} L(n,k) x^{-n-k-2} g^{(k+1)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
On procède à un changement d'indice de sommation dans la 2ème somme, \( l := k + 1 \), et on renomme \(l \) \( k \),
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n} L(n,k) \left( n + k \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) + \sum_{k=2}^{n+1} L(n,k-1) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
A condition de décréter que \( L(n,k) = 0 \) dès lors que \( k \lt 1 \) ou \( k \gt n \), on peut aligner les intervalles de sommation,
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n+1} L(n,k) \left( n + k \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) + \sum_{k=1}^{n+1} L(n,k-1) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
on peut alors regrouper en une seule somme,
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n+1} L(n,k) \left( n + k \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) L(n,k-1) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n+1} \left ( L(n,k) \left( n + k \right ) + L(n,k-1) \right ) x^{-n-k-1} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n+1} \left ( \left( n + k \right ) L(n,k) + L(n,k-1) \right ) x^{-(n+1)-k} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
Les nombres de Lah sont précisément les nombres satisfaisant la récurrence
\[ L(n+1,k) = \left( n + k \right ) L(n,k) + L(n,k-1) \]
Par conséquent,
\[ g^{(n+1)}(-x) = \sum_{k=1}^{n+1} L(n+1,k) x^{-(n+1)-k} g^{(k)}\left(\frac{1}{x}\right) \]
et la propriété est vraie au rang \( n + 1 \), et le raisonnement par récurrence terminé. \( \square \)
5.4 les \( g^{(n)}(1/x) \) en fonction des \( g^{(n)}(-x) \)
Un raisonnement similaire permet d'établir que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(x^{-1}) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n+k} L(n,k) x^{n+k} g^{(k)}\left(-x\right) } (B) \]
En particulier pour \( x = 1 \), on a :
\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ g^{(n)}(1) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n+k} L(n,k) g^{(k)}\left(-1\right) } \]
Les nombres \( (-1)^{n+k} L(n,k) \) :
\[
\begin{array}{|r|r|r|}
\hline
1 \\
\hline
-2& 1 \\
\hline
6& -6& 1 \\
\hline
-24& 36& -12& 1 \\
\hline
120& -240& 120& -20& 1 \\
\hline
-720& 1800& -1200& 300& -30& 1 \\
\hline
5040& -15120& 12600& -4200& 630& -42& 1 \\
\hline
-40320& 141120& -141120& 58800& -11760& 1176& -56& 1 \\
\hline
362880&-1451520&1693440&-846720&211680&-28224&2016&-72& 1 \\
\hline
\dots \\
\hline
\end{array}
\]
A poursuivre...
LR, 02/01/2021.