Soient trois suites d'entiers \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \), \( (b_n)_{n \in \mathbb{N} } \) et \( (w_n)_{n \in \mathbb{N} } \) telles que :
\[ w_0 = 1 \] \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad b_n = \sum_{k = 0}^n w_k a_{n-k} \]Comment exprimer les \( a_n \) en fonction des \( b_n \) ? Autrement dit, comment inverser la matrice \( W \) :
\[ \left ( \begin{matrix} 1 \\ w_1 & 1 \\ w_2 & w_1 & 1 \\ w_3 & w_2 & w_1 & 1 \\ \dots \\ \end{matrix} \right ) \] \[ \begin{array}{|l|l|} \hline b_0 = a_0 & a_0 = {\color{red} b_0} \\ \hline b_1 = a_1 + w_1 a_0 & a_1 = b_1 - w_1 (a_0) \\ & a_1 = b_1 - w_1 ( { \color{red} b_0}) \\ & a_1 = {\color{blue} b_1 - w_1 b_0 } \\ \hline b_2 = a_2 + w_1 a_1 + w_2 a_0 & a_2 = b_2 - w_1 (a_1) - w_2 (a_0) \\ & a_2 = b_2 - w_1 ({\color{blue} b_1 - w_1 b_0}) - w_2 ({\color{red} b_0}) \\ & a_2 = {\color{green} b_2 - w_1 b_1 + \left( w_1^{2} - w_2 \right) b_0 } \\ \hline b_3 = a_3 + w_1 a_2 + w_2 a_1 + w_3 a_0 & a_3 = b_3 - w_1 (a_2) - w_2 (a_1) - w_3 (a_0) \\ & a_3 = b_3 - w_1 ({\color{green} b_2 - w_1 b_1 + \left( w_1^{2} - w_2 \right) b_0}) - w_2 ({\color{blue} b_1 - w_1 b_0}) - w_3 ({\color{red} b_0}) \\ & a_3 = {\color{violet} b_3 - w_1 b_2 + \left( w_1^2 - w_2 \right) b_1 + \left( - w_1^3 + 2 w_2 w_1 - w_3 \right) b_0 } \\ \hline b_4 = a_4 + w_1 a_3 + w_2 a_2 + w_3 a_1 + w_4 a_0 & a_4 = b_4 - w_1 (a_3) - w_2 (a_2) - w_3 (a_1) - w_4 (a_0) \\ & a_4 = b_4 - w_1 ( {\color{violet} b_3 - w_1 b_2 + \left( w_1^2 - w_2 \right) b_1 + \left( - w_1^3 + 2 w_2 w_1 - w_3 \right) b_0 }) - w_2 \frac{2!}{4!} ( {\color{green} b_2 - w_1 \frac{1!}{2!} b_1 + \left( w_1^{2} - w_2 \right) \frac{0!}{2!} b_0 }) - w_3 \frac{1!}{4!} ( {\color{blue} b_1 - w_1 \frac{0!}{1!} b_0 }) - w_4 \frac{0!}{4!} ( {\color{red} b_0 }) \\ & a_4 = b_4 - w_1 \frac{3!}{4!} b_3 + \left( w_1^2 - w_2 \right) \frac{2!}{4!} b_2 + \left( -w_1^3 + 2 w_2 w_1 - w_3 \right) \frac{1!}{4!} b_1 + \left( w_1^4 - 3 w_2 w_1^{2} + 2 w_3 w_1 + w_2^{2} - w_4 \right) \frac{0!}{4!} b_0 \\ \hline \end{array} \]On voit clairement un motif émerger :
\[ a_n = b_n + \sum_{k=1}^{n} m_k \frac{(n-k)!}{n!} b_{n-k} \]avec :
\[ \begin{array}{l} m_1 = - w_1 \\ m_2 = w_1^2 - w_2 \\ m_3 = - w_1^3 + 2 w_2 w_1 - w_3 \\ m_4 = w_1^4 - 3 w_2 w_1^2 + 2 w_3 w_1 + w_2^2 - w_4 \\ \dots \\ \end{array} \]Pour aller plus loin, mieux vaut automatiser. Voici un petit programme en Mathematica, et les premières lignes de résultats (attention, ça explose en taille !) :
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a[n_] := a[n] = If[n == 0, b[n], b[n] - Sum[w[k] * (n - k)! / n! * a[n - k], {k, 1, n}]]
aa[n_] := Collect[a[n], b /@ Range[0, n]] m[n_] := Expand[n! * Coefficient[a[n], b[0]] For[n = 0, n ≤ 10, n ++, Print[n -> m[n]] |
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0->1
1->-w[1] 2->w[1]^2-w[2] 3->-w[1]^3+2 w[1] w[2]-w[3] 4->w[1]^4-3 w[1]^2 w[2]+w[2]^2+2 w[1] w[3]-w[4] 5->-w[1]^5+4 w[1]^3 w[2]-3 w[1] w[2]^2-3 w[1]^2 w[3]+2 w[2] w[3]+2 w[1] w[4]-w[5] 6->w[1]^6-5 w[1]^4 w[2]+6 w[1]^2 w[2]^2-w[2]^3+4 w[1]^3 w[3]-6 w[1] w[2] w[3]+w[3]^2-3 w[1]^2 w[4]+2 w[2] w[4]+2 w[1] w[5]-w[6] ... |
On observe que :
Sur un schéma des partitions des entiers \( n \) allant de \( 0 \) à \( 6 \), cela donne (jaune = pair = positif ; bleu = impair = négatif) :
Si on prend \( w_n = 2^n \), il y a des connexions avec : A000165 A003319 A132371 A193094, ...
Juste pour prouver que ce genre de relation entre suites peut survenir.
Soit \( a = (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) (une suite) et \( f \) (une fonction) liées par :
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]On doit pouvoir intégrer (1 fois, 2 fois, ..., indéfiniment) cette égalité :
\[ \left(\int f \right)(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} \frac{x^n}{n} \] \[ \left(\int \int f \right)(x) = \sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} \frac{x^n}{n (n - 1)} \] \[ \left(\int \int \int f \right)(x) = \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} \frac{x^n}{n (n - 1) (n - 2)} \] \[ \dots \] \[ \left(\int^{\lt k \gt} f \right)(x) = \sum_{n=k}^{\infty} a_{n-k} \frac{(n-k)! x^n}{n!} \]et faire un cumul pondéré (par des coefficients \( w_n \) non nuls) de tout cela : \[ \left( \sum_{k=0}^{\infty} w_k \int^{\lt k \gt} f \right)(x) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k \left( \sum_{n=k}^{\infty} a_{n-k} \frac{(n-k)! x^n}{n!} \right) \]
On regroupe les termes de même puissance de \( x \), ce qui revient à intervertir les indices de sommation : \[ \left( \sum_{k=0}^{\infty} w_k \int^{\lt k \gt} f \right)(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n} w_k a_{n-k} \frac{(n-k)!}{n!} \right) x^n \]
Maintenant, on aimerait pouvoir dire que :
\[ \left( \sum_{k=0}^{\infty} w_k \int^{\lt k \gt} f \right)(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \]Cela incite à poser :
\[ b_n = \sum_{k=0}^{n} w_k \frac{(n-k)!}{n!} a_{n-k} \]On remarque que multiplier tous les coefficients \( w_n \) par un même facteur \( C \) non nul, revient à multiplier tous les \( b_n \) par ce même coefficient, et que le résultat obtenu n'est jamais que
\[ \left( \sum_{k=0}^{\infty} (C w_k) \int^{\lt k \gt} f \right) = \left( \sum_{k=0}^{\infty} w_k \int^{\lt k \gt} (C f) \right) = C \left( \sum_{k=0}^{\infty} w_k \int^{\lt k \gt} f \right) \]Aussi peut-on supposer, sans perte de généralité, que \( w_0 = 1 \). (Prendre \( C = 1 / w_0 \) ). Et cela présente l'avantage d'achever de simplifier le "terme en \( a_n \)" dans l'expression de \( b_n \),
\[ b_n = a_n + \sum_{k=1}^{n} w_k \frac{(n-k)!}{n!} a_{n-k} \]LR, 08/11/2020.