Quoi de plus simple qu'une table de multiplication ? A l'intersection de la colonne \(x\) et de la rangée \(y\), figure le produit \(xy\). Mais une table de multiplication a un sens de lecture, i.e. elle est faite pour donner, en sortie, \( xy \), lorsqu'on lui donne, en entrées, \(x\) et \(y\). La lecture graphique transverse consistant à trouver les couples \((x, y)\) tels que \( xy = n \) pour un \( n \) donné, est beaucoup plus malaisée. La raison principale est l'absence de ligne reliant les points, et quand bien même toutes les hyperboles \( xy = n \) seraient tracées, leur densité augmenterait vite avec \( n \).
Pour améliorer la lisibilité d'un schéma adapté à la recherche des diviseurs de \(k\), nous aimerions :
Une marelle est un triplet de familles de droites
\[ ( (D_m)_{m \in \mathbb{R}}, (D'_n)_{n \in \mathbb{R}}, (\Delta_k)_{k \in \mathbb{R}}) \]tel que pour tout \( m \), pour tout \( n \), l'intersection de \( D_m \) et de \( D'_n \) soit sur \( \Delta_{mn} \).
La droite \( D_m \) représente le multiplicande de gauche \( m \), la droite \( D'_n \) le multiplicande de droite \( n \).
La droite \( \Delta_{mn} \) représente le résultat de la multiplication, \( m \times n \).
La définition reste volontairement floue. Il conviendrait sans doute de préciser :
Supposons que les droites aient pour équations :
Pour commencer, je me satisferai de la formule
\[ \begin{vmatrix} a_m & b_m & c_m \\ a'_n & b'_n & c'_n \\ \alpha_{mn} & \beta_{mn} & \gamma_{mn} \end{vmatrix} = 0 \]pour caractériser une marelle. (Cette formule nous dit que quels que soient \(m\) et \(n\), \(D_m\), \(D'_n\) et \(\Delta_{mn}\) sont concourantes, ou parallèles, ou bien telles que deux d'entre elles sont confondues)
Une transformation du plan \( f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) sera dite marellisante quand les conditions suivantes sont réunies:
Dans un tableau à double entrée, si on écrit à l'intersection de la ligne \( d \) et de la colonne \(k\),
alors on visualise que les cases remplies forment des lignes \( \{ 1, 2, 3, ... \} \) d'équations : pente \( = k/d = \) constante. (Faites l'essai). On peut s'inspirer de ces observations pour obtenir simplement notre première marelle :
Cette marelle peut s'obtenir avec la transformation marellisante :
Un outil que nous décrivons ici, le schéma hexagonal, peut aider à trouver des marelles (mais pas toutes). Cet outil suppose que les équations des droites de la marelle sont de la forme :
(ce dont on déduit que les marelles comportant au moins une droite passant par l'origine ne sont pas accessibles à l'outil ; en particulier, la marelle vue dans l'exemple ci-dessus).
Alors, \[ \begin{vmatrix} a_m & b_m & 1 \\ a'_n & b'_n & 1 \\ \alpha_{mn} & \beta_{mn} & 1 \end{vmatrix} = 0 \]
Ce déterminant nul revient à dire après développement (par la règle de Sarrus par exemple) que : \[ + a_m b'_n - b'_n \alpha_{mn} + \alpha_{mn} b_m - b_m a'_n + a'_n \beta_{mn} - \beta_{mn} a_m = 0 \] Cette équation peut être représentée par le schéma hexagonal que voici :
où
On visualise ainsi plus facilement les simplifications algébriques à rechercher.
C'est celle vue en exemple, mais aussi
Cette marelle naturelle semble bien connue, mais il en existe beaucoup d'autres, et un de mes hobbies consiste à les collectionner.
La marelle quadratique est formée des droites :
et peut s'obtenir avec la transformation marellisante :
dont la transformation inverse "démarellisante" est :
Au passage, cette transformation s'illustre à l'aide de 4 rectangles identiques formant un grand et un petit carrés :
Entraînons-nous à la lecture, cherchons les diviseurs de 10. La droite verte \(\Delta_{10}\) horizontale d'équation \(y = 10\) comporte quatre points de concourance rouge+bleu+vert :
Schéma hexagonal :
Voici une variante penchée et agrandie de la marelle précédente :
Cette marelle quadratique à 45° est formée des droites :
et peut s'obtenir avec la transformation marellisante :
Elle présente l'intérêt de bien cadrer avec le premier quadrant du repère cartésien \(( X \gt 0, Y \gt 0 )\).
Soit \(t \in \mathbb{R}^{*}\). La marelle limite de paramètre \(t\) est formée des droites :
L'image ci-dessus illustre le cas \(t = \frac{7}{2} \). Les familles de droites \(D_m\) et \(D'_n\) sont identiques : quel que soit \(m\), \(D_m = D'_m\). Cela implique que pour tout \(m\), \(D_m \cap D'_m = D_m\).
Dans ces conditions, "le" point d'intersection entre \(D_m\) et \(D'_m\) doit être vu comme \[ \lim_{u \to m, v \to m} D_u \cap D'_v \]
Le schéma hexagonal de la marelle quadratique rend assez intuitive l'idée d'introduire un paramètre \(t\in \mathbb{R}\) comme suit :
Nous venons ainsi de découvrir une nouvelle famille de marelles, les marelles quadratiques paramétrées par \(t\), dont la marelle quadratique "tout court" est l'archétype \( (t = 1) \).
Illustration pour \(t = -1\) :
Utilisons l'équation fonctionnelle des \( \log \), quelle que soit la base \(t\) : \( \log_t(mn) = \log_t(m) + \log_t(n) \).
Cela correspond aux équations de droites :
Illustration pour \( t = 4 \) :
Encore une fois, utilisons l'équation fonctionnelle des \( \log \) : \( \log(mn) = \log(m) + \log(n) \).
Equations de droites :
Transformation marellisante :
Schéma hexagonal :
Illustration :
Je trouve cette marelle très inspirante. (Ah la magie des logs). Allez, une autre illustration :
On peut partir du cercle unité et considérer l'ensemble des droites tangentes à ce cercle.
Si le point de tangence est situé côté \( Y \gt 0 \), considérons que la droite est une \( D_m \) pour un certain \( m \gt 0 \);
s'il est situé côté \( Y \lt 0 \), considérons que la droite est une \( D'_n \) pour un certain \( n \gt 0 \).
Par souci de symétrie, supposons aussi que pour tout \( n \gt 0 \), la droite \( D'_n \) est en fait \( D_{-n} \), et vice versa.
En coordonnées polaires, ces droites ont pour équations :
\[ D_m : \rho = \frac{1}{\cos(\theta - \phi(m))} \] \[ D'_n : \rho = \frac{1}{\cos(\theta + \phi(m))} \]où, \( \phi \) est la fonction qui à un nombre \( m \) associe l'angle du point de tangence de \( D_m \).
Si l'on choisit judicieusement \( \phi \), à savoir une fonction de la forme :
\[ \phi(k) = 2 \arctan \left( \frac{k}{c} \right) \]où \( c \) est une constante, alors (je passe les calculs) on obtient une marelle avec :
\[ \Delta_k : \rho = \frac{1}{\cos(\phi(\sqrt{k}))} \cdot \frac{1}{\cos(\theta)} \]soit encore :
\[ \Delta_{k} : X = \frac{k + c^2}{k - c^2} \]Illustration avec \( c = 7/2 \), \( m = 1 \dots 3 \), \( n = 1 \dots 3 \) et \( k = 1 \dots 9 \) :
Pour changer, et pour raisons esthétiques, plutôt que de représenter cette marelle sous forme d'une marelle de droites, représentons-la sous forme d'une marelle de cercles,
en appliquant une inversion (la transformation du plan qui au point de coordonnées polaires \( (\theta, \rho) \) fait correspondre le point de coordonnées polaires \( (\theta, 1 / \rho) \)).
L'inversion a pour effet de transformer les droites en cercles, mais c'est le même principe. Avec pour choix (arbitraire) de constante \( c = \pi \),
LR, 03/10/2020