L'aire du mediator

Soit la récurrence entrelacée :

\[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad P_{n+1} = P_n + Q_n \] \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad Q_{n+1} = P_n \times Q_n \]

avec pour initialisation :

\[ P_0 = x \] \[ Q_0 = y \]

(ou \( P_0 = y \) et \( Q_0 = x\), peu importe, c'est à partir de \( n = 1 \) que ça devient symétrique et intéressant)

Ces relations définissent deux familles de polynômes, \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}} \) et \( (Q_n)_{n \in \mathbb{N}} \), à deux variables (\( x \) et \( y \)), qui prennent leurs coefficients dans \( \mathbb{N} \). Les quelques premiers \( (P_n, Q_n) \) sont :

\[ (P_0, Q_0) = (x, \quad y) \] \[ (P_1, Q_1) = (x + y, \quad xy) \] \[ (P_2, Q_2) = (x + y + xy, \quad x^2 y + x y^2) \] \[ (P_3, Q_3) = (x^2 y + x y^2 + x y + x + y, \quad x^3 y^2 + x^3 y + x^2 y^3 + 2 x^2 y^2 + x y^3) \]

Les coefficients exacts des \( P_n \) et des \( Q_n \) ne m'intéressent pas. En revanche, je cherche à savoir combien d'entre eux sont non nuls ; autrement dit, je cherche à connaître les cardinaux des supports de ces polynômes.

(le support de \( R \in \mathbb{N} [ x ][ y ] \) est l'ensemble des \( (i, j) \in \mathbb{N}^2 \) tels que le coefficient de \( x^i y^j \) dans \( R \) est non nul)

Programmons un peu en PARI/GP pour rendre les choses visuelles :

P(n)=if(n==0,x,P(n-1)+Q(n-1))
Q(n)=if(n==0,y,P(n-1)*Q(n-1))
\\ la production de code HTML ci-dessous ne fonctionne que pour n >= 1
html_cell(cell)=my(class=if(cell==0,"wcell","bcell"));print1("\t\t<td class=\"",class,"\"></td>\n");
html_row(D,j,row)=my(i,cell);print1("\t<tr>\n");for(i=0,D,cell=polcoef(row,i);html_cell(cell));print1("\t</tr>\n");
html_table(R)=my(D=poldegree(R),j,row);print1("<table class=\"bwtable\">\n");for(j=0,D,row=polcoef(R,j);html_row(D,j,row));print1("</table>\n");
\\ l'idée est maintenant d'exécuter html_table(P(n)) et html_table(Q(n)) pour un certain nombre de n et de copier-coller les résultats dans le HTML de la présente page !

Résultats :

\( n \)

\( P_n \)

\( Q_n \)

\( 0 \)

\( 1 \)

\( 2 \)

\( 3 \)

\( 4 \)

\( 5 \)

\( 6 \)

\( 7 \)

La question est devenue : quelle est l'aire noire de chaque dessin ci-dessus ?

Pour les \( P_n \) :

\[ 1, 2, 3, 5, 10, 22, 52, 128, \dots \]

Pour les \( Q_n \) :

\[ 1, 1, 2, 14, 40, 111, 300, 797, \dots \]

Conjectures

Pour \( n \geq 1 \), il semblerait que

\[ \mbox{Aire}(P_n) =^{?} \frac{F(2n-1)+F(n+1) + 2}{2} \] \[ \mbox{Aire}(Q_n) =^{?} \frac{F(2n+1)+F(n+2) - n^2 + n - 2}{2} \]

Sur OEIS

Sur OEIS, l'entrée A005207 existe de longue date ; étant donné sa définition, il semblerait que l'aire des \( P_n \) soit donnée par \( \mbox{A005207}(n) + 1 \). Je me suis abstenu de créer une nouvelle entrée pour \( \mbox{Aire}(P_n) \).

Sur OEIS, il n'existait pas d'entrée en lien apparent avec l'aire des \( Q_n \). Par conséquent, je l'ai créée (février 2018) : \( \mbox{A296516}(n) := \mbox{Aire}(Q_n) \). Cf. A296516.

Quelques contributeurs OEIS s'y sont intéressé et l'ont trouvée "nice".

Rémy Sigrist a créé l'image suivante de \( Q_{14} \) (où les valeurs numériques des coefficients influent sur la couleur) :

Représentation en couleur du polynôme Q14

Intéressante présence d'un "point chaud" à coefficients élevés (la tache faite de ~cercles concentriques). Pourrait faire un sujet d'étude en soi...

Pour moi, cette image représente un mediator / un plectre de guitare, d'où le titre de la page :)

Cette forme semble être globalement assez constante sur toute la famille des \( Q_n \). Je vois un pattern régulier dans le contour (ligne polygonale avec des deltas en x et en y assez prévisibles et liés aux nombres de Fibonacci), pattern qui peut constituer un angle d'attaque en vue de prouver la formule.

LR, 22/09/2024