Quadrangle orthocentrique

Conclusion !

Je viens de constater une propriété des orthocentres. Rappelons que l'orthocentre d'un triangle \( ABC \) est le point \( D \) de concourance des hauteurs de \( ABC \).

Ma "révélation" est qu'il n'y a pas lieu de particulariser \( D \) par rapport à \( A, B, C \), car les 4 assertions suivantes sont équivalentes :

Cette propriété est bien connue et porte un nom : A, B, C et D forment ce qu'on appelle un quadrangle orthocentrique.

LR, 22/10/2019.

Comment en suis-je venu à m'intéresser à ça ?

Par un chemin scabreux j'en ai bien peur :). Je me suis posé le problème suivant :

Soient \( a_0, b_0, a_1, b_1 \) quatre nombres réels ;

Soit \( D_0 \) la droite d'équation : \( a_0 x + b_0 y = 1 \) ;

Soit \( D_1 \) la droite d'équation : \( a_1 x + b_1 y = 1 \) ;

Sauf malchance, \( D_0 \) et \( D_1 \) sont sécantes en un point. Soient \( (a_2, b_2) \) les coordonnées de ce point !

On peut alors définir une nouvelle droite, \( D_2 \), dont \( a_2 x + b_2 y = 1 \) est une équation ;

Mais qu'est-ce qui nous empêche de recommencer, en intersectant \( D_1 \) et \( D_2 \) pour obtenir le point dont les coordonnées nous fourniront les coefficients d'une droite \( D_3 \) ?

Mais qu'est-ce qui nous empêche de recommencer, en intersectant \( D_2 \) et \( D_3 \) pour obtenir le point dont les coordonnées nous fourniront les coefficients d'une droite \( D_4 \) ?

etc.

Que peut-on dire de la suite de droites \( (D_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ? De la suite de points \( (M_n)_{n \in \mathbb{N}} = (a_n, b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ? Finit-on par observer une périodicité ?

Réponse : oui, absolument ! On observe une périodicité de période \( 3 \), aussi bien sur les droites que sur les points. Un petit programme PARI et son résultat formel (littéral) m'a convaincu :


		f(z0,z1)=x0=real(z0);y0=imag(z0);x1=real(z1);y1=imag(z1);(y1-y0)/(x0*y1-x1*y0)+I*(x1-x0)/(y0*x1-y1*x0)
		g(z0,z1,n)=print(z0);print(z1);i=2;while(i<=n,z2=f(z0,z1);print(z2);z0=z1;z1=z2;i++)
		g(a+I*b,aa+I*bb,6)

Résultat :


		a + I*b
		aa + I*bb
		(I*a + (-b + (-I*aa + bb)))/(bb*a - aa*b)
		((I*bb*aa + (-bb^2 + 1))*a + ((-I*aa^2 + bb*aa + I)*b + (-aa - I*bb)))/(aa*a + (bb*b + (-aa^2 - bb^2)))
		(aa + I*bb)
		(I*a + (-b + (-I*aa + bb)))/(bb*a - aa*b)
		((I*bb*aa + (-bb^2 + 1))*a + ((-I*aa^2 + bb*aa + I)*b + (-aa - I*bb)))/(aa*a + (bb*b + (-aa^2 - bb^2)))

Les formules donnant l'affixe complexe \( z_{n+3} \) de \( M_{n+3} \) sont rigoureusement égales à celles donnant \( z_n \) affixe de \( M_n \), et ce pour tout \( n \gt 0 \).

J'ai fini par comprendre (intuiter ?) que \( M_1 \), \( M_2 \), \( M_3 \), et \( O \) (l'origine) forment un quadrangle orthocentrique.

Ci-contre, un exemple.

Les étapes de construction du schéma sont :

Soient deux points \( M_0 \), \( M_1 \).

\( M_0 \) ne servira, en fait, qu'à définir la droite \( (M_0 M_1) \)

\( M_2 \) est tel que :

  • les droites \( (OM_2) \) et \( (M_0 M_1) \) sont perpendiculaires ;
  • le produit des distances \( OM_2 \) et \( OH \), où \( H \) est l'intersection \( (OM_2) \cap (M_0M_1) \), vaut 1.
    (d'où le fait de faire figurer un cercle d'inversion sur le schéma)

\( M_3 \) est tel que :

  • les droites \( (OM_3) \) et \( (M_1 M_2) \) sont perpendiculaires ;
  • le produit des distances \( OM_3 \) et \( OK \), où \( K \) est l'intersection \( (OM_3) \cap (M_1M_2) \), vaut 1.

Il se trouve que \( M_3 \) est situé sur la droite \( M_0 M_1 \) ...

\( M_4 \) est tel que :

  • les droites \( (OM_4) \) et \( (M_2 M_3) \) sont perpendiculaires ;
  • le produit des distances \( OM_4 \) et \( OL \), où \( L \) est l'intersection \( (OM_4) \cap (M_2M_3) \), vaut 1.

Il se trouve que \( M_4 \) est confondu avec \( M_1 \).

Idem pour tous les \( n \) ultérieurs, \( M_{n+3} = M_{n} \).

En "régime permanent", ce procédé est apparemment équivalent à :

  • Quel est l'orthocentre de \( OM_1M_2 \) ? Réponse : \( M_3 \).
  • Bon d'accord, mais alors, quel est l'orthocentre de \( OM_2M_3 \) ? Réponse : \( M_1 \).
  • Bon d'accord, mais alors, quel est l'orthocentre de \( OM_3M_1 \) ? Réponse : \( M_2 \).
  • Bon d'accord, mais alors, quel est l'orthocentre de \( OM_1M_2 \) ? Réponse : \( M_3 \).
  • ... en boucle. Comme dans l'histoire de la vache

L'histoire de la vache

LR, 22/10/2019.