Soient \( a \), \( b \), \( x \), \( y \) quatre nombres complexes et \( u \) la suite récurrente définie par :
\[ u_0 = x \] \[ u_1 = y \] \[ \forall n \geq 2, u_n = a u_{n-2} + b u_{n-1} \]Notre propos est de donner du sens à \[ u_{n+1/2} \]
pour tout \( n \in \mathbb{N} \), tout en imposant l'existence d'une relation de récurrence de même ordre (que celle de départ) sur les éléments consécutifs (de la nouvelle suite), à savoir qu'il doit exister des coefficients \( c \) et \( d \) complexes tels que
\[ \forall n \geq 1, u_{n} = c u_{n-1} + d u_{n - 1/2} \]
Nous dirons que la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}/2} \) est une suite obtenue par raffinement d'un facteur \( 2 \) de la suite \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).
Nos buts sont de voir combien il peut exister de suites raffinées d'un facteur 2 pour une suite donnée, et de voir comment \( c \) et \( d \) dépendent de \( a \) et \( b \). Posons nos notations intermédiaires de calcul au moyen d'un tableau, comme suit :
| \( n \) | \( 0 \) | \( 0.5 \) | \( 1 \) | \( 1.5 \) | \( 2 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( u_n \) | \( x \) | \( x_1 \) | \( y \) \( = cx + dx_1 \) | \( y_1 \) \( = cx_1 + dy \) | \( z \) \( = cy + dy_1 \) \( = ax + by \) |
On recherche maintenant des conditions nécessaires sur \( c \) et \( d \) pour que les contraintes soient satisfaites.
\[ \begin{array}{ccccc} z & = & cy & + & dy_1 \\ z & = & cy & + & d(cx_1 + dy) \\ z & = & cdx_1 & + & (c+d^2)y \\ z & = & c(y - cx) & + & (c+d^2)y \\ z & = & -c^2x & + & (2c+d^2)y \\ \end{array} \]On identifie les coefficients
\[ \left \{ \begin{array}{ccc} a & = & -c^2 \\ b & = & 2c + d^2 \\ \end{array} \right . \]Convention (arbitraire) : nous définissons la racine carrée principale d'un nombre complexe \( w = \rho e^{i \theta} \) avec \( \theta \in ]-\pi, \pi] \), comme étant :
\[ \sqrt{w} = \sqrt{\rho} e^{i \theta / 2} \]Les deux racines carrées de \( w \) sont alors \( \sqrt{w} \) et \( - \sqrt{w} \). L'inversion du système d'équations donne :
\[ \left \{ \begin{array}{ccc} c & = & \pm \sqrt{-a} \\ d & = & \pm \sqrt{b - 2c} \\ \end{array} \right . \]On est amené à introduire deux nombres, \( \varepsilon_1 \) et \( \varepsilon_2 \), chacun égal soit à \( -1 \) soit à \( +1 \), et tels que :
\[ \left \{ \begin{array}{ccc} c & = & \varepsilon_1 \sqrt{-a} \\ d & = & \varepsilon_2 \sqrt{b - 2 \varepsilon_1 \sqrt{-a}} \\ \end{array} \right . \]Premier constat : à chaque fois qu'on raffine d'un facteur 2, sauf cas dégénéré, on a le choix parmi 4 couples de coefficients. On peut essayer de calculer la valeur de \( x_1 \) :
\[ d x_1 = y - cx \]De deux choses l'une, soit gauche et droite sont distincts de zéro, soit gauche et droite sont égaux à zéro. Dans le cas général ils sont distincts de zéro et on a :
\[ x_1 = \frac{y - cx}{d} \]néanmoins, on gardera en mémoire qu'il existe des cas particuliers (\( d = 0 \) et \( x_1 \) quelconque ou \( x_1 = 0 \) et \( d \) quelconque, et \( y = cx \)).
Notons :
\[ \begin{array}{ccc} c_{+} & = & + \sqrt{-a} \\ c_{-} & = & - \sqrt{-a} \\ d_{++} & = & + \sqrt{b - 2 \sqrt{-a}} \\ d_{+-} & = & - \sqrt{b - 2 \sqrt{-a}} \\ d_{-+} & = & + \sqrt{b + 2 \sqrt{-a}} \\ d_{--} & = & - \sqrt{b + 2 \sqrt{-a}} \\ \end{array} \]De même, notons :
\[ \begin{array}{ccc} x_{1++} & = \frac{y - c_{+}x}{d_{++}} \\ x_{1+-} & = \frac{y - c_{+}x}{d_{+-}} \\ x_{1-+} & = \frac{y - c_{-}x}{d_{-+}} \\ x_{1--} & = \frac{y - c_{-}x}{d_{--}} \\ \end{array} \]On a :
\[ x_{1+-} = - x_{1++} \] \[ x_{1--} = - x_{1-+} \]TODO: démontrer que les \( x_{1..} \) sont aussi liés par conjugaison.
TODO: généraliser ces égalités (opposé/conjugué) à \( u_{(n+1/2)..} \) pour tout \( n \).
La suite de Fibonacci est le cas particuler où \( x = 0 \), \( y = 1 \), \( a = 1 \), \( b = 1 \). De plus, il est usuel d'utiliser la notation \( F_n \) au lieu de \( u_n \).
Non raffinée, elle ressemble à ceci :
(le point étiqueté \( n \) a pour position \( F_n \) dans le plan complexe)
Raffinons cette suite une fois d'un facteur \( 2 \). Les calculs nous disent :
\[ c_+ = i \] \[ c_- = -i \] \[ d_{++} = +\sqrt{1 - 2i} = 5^{\frac{1}{4}} e^{i \frac{\arctan{(-2)}}{2}} \] \[ d_{+-} = -\sqrt{1 - 2i} = - d_{++} \] \[ d_{-+} = +\sqrt{1 + 2i} = \overline{d_{++}} \] \[ d_{--} = -\sqrt{1 + 2i} = - \overline{d_{++}}\]Supposons que nous utilisions le couple \( (c_+, d_{++}) \) pour raffiner. Alors, la suite \( (F_n)_{n \in \mathbb{N}/2} \) ressemble à ceci :
Supposons que nous voulions la raffiner une deuxième fois. \( c_+ \) joue le rôle de \( a \), \( d_{++} \) joue le rôle de \( b \), et de nouveaux calculs de \( (c, d) \) doivent être réalisés.
Supposons que nous utilisions le nouveau couple \( (c_+, d_{++}) \) obtenu. Alors, la suite \( (F_n)_{n \in \mathbb{N}/4} \) ressemble à ceci :
Code PARI adjuvant, pour mémoire :
f(v)=[v[2],c*v[1]+d*v[2]]Questions ouvertes : est-ce que pour chaque suite infinie de choix de raffinement d'un facteur 2 possible, \( ((c_i, d_i))_{i \in \mathbb{N}} \), les points obtenus constituent une courbe ? La courbe est-elle continue ? Régulière ? Fractale ?
LR, 22/10/2023.