Recherches sur les marelles

Nous nous intéressons à des dessins faits de droites numérotées qui s'entrecroisent selon des règles précises.

1. Marelles

1.1. Définitions

Nous appellerons marelle un 5-uplet \( (I, *, D, D', \Delta) \) tel que

L'idée est que la marelle est une représentation graphique du magma, la loi de composition interne étant convertie en quelque chose de visuel : une concourance de droites.

Qu'il nous soit permis de rester un peu vague sur :

Les ensembles d'indices \( I \) auxquels nous nous intéresserons en pratique seront des ensembles de nombres. Une marelle sera dite :

1.2. Exemples

Par convention, nous représenterons

(lorsque du rouge et du bleu se superposent, nous utiliserons du violet).

Marelle I

Les 3 familles de droites

\[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : y = x - m } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = -x + n } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : x = k / 2 } \]

indexées par le groupe additif \( \mathbb{Z} \) forment une marelle additive.

Marelle II

Les 3 familles de droites

\[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_0 : y = 0 } \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_1 : y = x/3 + 1 } \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_2 : y = 3x + 3 } \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_3 : x = 0 } \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_4 : y = 3x - 3 } \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_5 : y = x/3 - 1 } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n = D_{n+3} } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_0 : x + y = 0 } \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_1 : x + y = 1 } \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_2 : x + y = 3 } \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_3 : x + y = \infty } \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_4 : x + y = -3 } \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_5 : x + y = -1 } \]

indexées par le groupe additif \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) forment une marelle additive.

A noter que l'une des droites ( \( \Delta_3 \) ) n'est pas tracée, car est considérée passer par l'infini = les antipodes de l'origine.

Marelle III

Les 3 familles de droites

\[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : y = m(m - x) } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = m(m + x) } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : y = k } \]

indexées par le magma multiplicatif \( \mathbb{N}^* = \{ 1, 2, \dots \} \) forment une marelle multiplicative.

Ceci est une table de multiplication.

Marelle IV

Les 3 familles de droites

\[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : x = \log_2(m) } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = \log_2(n) } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : x+y = \log_2(k) } \]

indexées par le magma multiplicatif \( \mathbb{N}^* = \{ 1, 2, \dots \} \) forment une marelle multiplicative.

Ceci est une table de multiplication.

2. Transformation et morphisme

On peut voir une marelle comme une transformation, depuis un ensemble (généralement de nombres) -- les indices, vers une représentation géométrique (des droites).

Cette transformation possède des attributs de morphisme, en ce sens que l'image de la somme (ou autre loi de composition interne) de deux indices est (en un certains sens) égale à l'intersection des images (en un certain sens) de ces deux indices.

Pour rendre rigoureuse cette intuition, il conviendrait sans doute de définir les objets compliqués suivants :

\( \Gamma \) ensemble des droites du plan

\[ f : I \to \Gamma^3 \] \[ k \mapsto f(k) := ( D_k, D'_k, \Delta_k ) \] \[ \cap : (\Gamma^3)^2 \to \Gamma^3 \] \[ ((D, D', \Delta), (S, S', \Sigma)) \mapsto (D, D', \Delta) \cap (S, S', \Sigma) := (P, P', \Pi) \]

où \( \Pi \) est la droite contenant \( D \cap S' \) et \( S \cap D' \), pour laquelle il existe un \( k \) tel que \( \Pi = \Delta_k \) ;

et où \( P := D_k \)

et où \( P' := D'_k \)

Alors, en ce sens, \( f(m + n) = f(m) \cap f(n) \), donc \( f \) est un morphisme, etc.

Maintenant, on peut composer cette transformation/ce morphisme avec d'autres transformations/morphismes, et on peut le faire de deux côtés :

2.1. Côté numérique

Les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) transforment \( \times \) en \( + \) ou l'inverse, en vertu de leurs équations fonctionnelles :

\[ \ln(m n) = \ln(m) + \ln(n) \] \[ \exp(m + n) = \exp(m) \exp(n) \]

On peut transformer une marelle multiplicative en une marelle additive, ou l'inverse, par application de \( \ln \) ou \( \exp \) (ou une fonction du même acabit) sur les indices. Cela revient à renuméroter les droites.

Par exemple, la marelle IV ci-dessus est équivalente à celle-ci :

Les 3 familles de droites

\[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : x = m } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = n } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : x+y = k } \]

indexées par le magma additif \( \{ \log_2(1), \log_2(2), \log_2(3), \dots \} \) forment une marelle additive.

Ainsi, on ne perd pas en généralité en n'étudiant que les marelles d'un seul type. Dans la suite de cette étude, sauf mention explicite du contraire, nous ne considérerons que des marelles additives.

2.2. Côté géométrique

Un certain nombre de transformations du plan conservent alignement et concourance. On pense aux transformations linéaires :

Il est clair qu'en transformant le plan à l'aide d'une telle transformation, l'image d'une marelle est une marelle.

Existe-t-il d'autres transformations transformant toute marelle en marelle ? Je ne sais pas.

Mais étant donné une marelle bien précise, existe-t-il d'autres transformations que celles listées ci-dessus et transformant cette marelle en marelle ? Oui, cela se peut.

Par exemple, la marelle III peut être transformée en marelle IV au moyen de la transformation :

\[ X = \log_2 \left ( \sqrt{x^2 + 4y} + x \right ) - 1 \] \[ Y = \log_2 \left ( \sqrt{x^2 + 4y} - x \right ) - 1 \]

L'idée derrière ces remarques est la suivante : dans ce qui suit, nous allons étudier des marelles dont les \( \Delta_k \) sont verticales et dont les \( D_0 \) et \( D'_0 \) sont orthogonales avec leur point d'intersection situé à l'origine. Etant donné l'abondance de transformations disponibles côté géométrique capables de transformer une marelle en marelle, je ne serais pas surpris que ces marelles particulières soient représentatives du cas général (peut-être à de rares exceptions près).

5. Polynômes de Tchebychev et dérivés

Au chapitre 6, nous allons étudier des marelles paramétrées par deux nombres notés \( t \) et \( u \).

Avant cela, nous avons besoin de faire une digression du côté des polynômes de Tchebychev. Rappels et définitions.

5.1. Polynômes de Tchebychev classiques

Il existe deux espèces de polynômes de Tchebychev "classiques" :

Les polynômes de Tchebychev de première espèce, \( (T_n)_{n \in \mathbb{N}} \), sont définis par

\[ T_n(\cos \theta) = \cos( n \theta) \]

Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, \( (U_n)_{n \in \mathbb{N}} \), sont définis par

\[ U_n(\cos \theta) = \frac{\sin( (n+1) \theta)}{\sin \theta} \]

Il est équivalent de définir ces polynômes à l'aide des formules de récurrence suivantes :

\[ T_0 = 1 \] \[ T_1 = X \] \[ T_{n+1} = 2X T_n - T_{n-1} \] \[ U_0 = 1 \] \[ U_1 = 2X \] \[ U_{n+1} = 2X U_n - U_{n-1} \]

5.2. Polynômes de Tchebychev modifiés

Il n'est pas rare de voir des papiers définir des polynômes de Tchebychev modifiés, avec chacun sa variante quant à la modification ou quant aux notations.

C'est ce que nous allons aussi faire ici.

Nos polynômes de Tchebychev modifiés de première espèce, \( (\Omega_n)_{n \in \mathbb{N}} \), seront définis par

\[ \Omega_n(2 \cos \theta) = 2 \cos(n \theta) \]

Nos polynômes de Tchebychev modifiés de seconde espèce, \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}} \), seront définis par

\[ P_n(2 \cos \theta) = \frac{\sin( n \theta)}{\sin \theta} \]

Il n'est pas difficile de démontrer que ces définitions sont équivalentes à :

\[ \Omega_n(X) = 2 T_n \left(\frac{X}{2}\right) \] \[ P_n(X) = U_{n-1} \left(\frac{X}{2}\right) \]

Ou bien encore à :

\[ \Omega_0 = 2 \] \[ \Omega_1 = X \] \[ \Omega_{n+1} = X \Omega_n - \Omega_{n-1} \] \[ P_0 = 0 \] \[ P_1 = 1 \] \[ P_{n+1} = X P_n - P_{n-1} \]

Nous utiliserons surtout les \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

La "modification" amène un certain nombre de bénéfices. Etant donné que la relation de récurrence peut être lue à l'envers,

\[ P_{n-1} = X P_n - P_{n+1} \]

\( P_n \) peut être défini pour \( n \lt 0 \). Le premier pas côté négatif donne alors immédiatement \( P_{-1} = -1 \). Une récurrence élémentaire permet alors d'obtenir que

\[ \forall n \in \mathbb{Z}, P_{-n} = -P_n \]

(on pouvait aussi tout simplement appliquer la définition). De même on peut établir que

\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \Omega_{-n} = \Omega_n \]

5.3. Polynômes \( (p[n])_{n \in \mathbb{Z}} \) à 2 variables

Jusqu'ici les polynômes abordés n'avait qu'une variable/indéterminée (\(X\)). Nous passons à deux.

Soient deux variables / indéterminées notées \( t \) et \( u \), à valeurs dans \( \mathbb{R} \).

Définissons alors \( p[n] \) (une autre façon d'écrire \( p_n \) si vous voulez) par :

\[ p[n] := P_n(t + u) \]

(il s'agit d'une substitution et non pas d'un produit). \( p[n] \) est un polynôme en \( t \) et \( u \).

Exemple : \( P_2 = X \) et \( P_3 = X^2 - 1 \) impliquent que

\[ p[2] = t + u \] \[ p[3] = (t+u)^2 - 1 = t^2 + 2 tu + u^2 - 1 \]

5.4. Polynômes \( (a[n])_{n \in \mathbb{Z}} \) à 2 variables

Définissons les polynômes \( a[n] \) (une autre façon d'écrire \( a_n \) si vous voulez) par :

\[ a[n] := t p[n] - p[n-1] \]

Exemple :

\[ a[3] = t ( t^2 + 2 tu + u^2 - 1 ) - (t + u) \] \[ a[3] = t^3 + 2 t^2 u + t u^2 - 2t - u \]

Noter que la définition est équivalente à (facile à démontrer) :

\[ a[0] = 1 \] \[ a[1] = t \] \[ a[n + 1] = (t + u) a[n] - a[n - 1]\]

Ainsi,

\[ a[0] = 1, a[1] = t, a[2] = (t + u)t - 1 = t^2 + tu - 1, a[3] = (t + u)(t^2 + tu - 1) - t = t^3 + 2 t^2u + tu^2 - 2t - u, \dots \]

Propriété remarquable (facile à démontrer) : pour obtenir \( a[-n] \), partir de \( a[n] \) et remplacer les \( t \) par des \( u \) et vice versa :

\[ a[0] = 1, a[-1] = u, a[-2] = (u + t)u - 1 = u^2 + ut - 1, a[-3] = (u + t)(u^2 + ut - 1) - u = u^3 + 2 u^2t + ut^2 - 2u - t, \dots \]

5.5. Une propriété remarquable des polynômes \( p \) et \( a \)

Proposition

Quels que soient \( m \) et \( n \),

\[ \frac{p[m] + p[n]}{a[m] + a[n]} = \frac{p[m + n]}{1 + a[m + n]} \]

Une autre façon d'énoncer cette propriété est de dire que \( \frac{p[m] + p[n]}{a[m] + a[n]} \) ne dépend que de \( m + n \), après avoir noté que le membre de droite, c'est le membre de gauche dans lequel on a appliqué les substitutions \( m \leftarrow 0 \) et \( n \leftarrow m + n \) qui laisse la somme \( m + n \) invariante.

Démonstration

Formons la différence

\[ \frac{p[m] + p[n]}{a[m] + a[n]} - \frac{p[m + n]}{1 + a[m + n]} = \frac{(p[m] + p[n])(1 + a[m + n]) - (p[m + n])(a[m] + a[n])}{(a[m] + a[n])(1 + a[m + n])} \]

et montrons qu'elle est égale à \( 0 \). Supposons le dénominateur non nul, intéressons nous au numérateur, \( E := (p[m] + p[n])(1 + a[m + n]) - (p[m + n])(a[m] + a[n]) \), et montrons qu'il est nul.

On rappelle que \( a[n] = t p[n] - p[n - 1] \), donc

\[ E = (p[m] + p[n])(1 + tp[m + n] - p[m + n - 1]) - (p[m + n])(t p[m] - p[m - 1] + t p[n] - p[n - 1]) \]

On constate en développant que les termes comportant du \( t \) s'entretuent et il reste :

\[ E = (p[m] + p[n])(1 - p[m + n - 1]) + (p[m + n])(p[m - 1] + p[n - 1]) \]

Comme \( p[n] = P_n(t + u) = \frac{\sin n\theta}{\sin \theta} \) moyennant un changement de variable \( t + u = 2 \cos \theta \), on a :

\[ E = \left(\frac{\sin m\theta}{\sin \theta} + \frac{\sin n\theta}{\sin \theta} \right)\left(1 - \frac{\sin (m+n-1)\theta}{\sin \theta}\right) + \left(\frac{\sin (m+n)\theta}{\sin \theta}\right)\left(\frac{\sin (m-1)\theta}{\sin \theta} + \frac{\sin (n-1)\theta}{\sin \theta}\right) \] \[ ( \sin^2 \theta ) E = \bbox[pink, 3px]{(\sin m\theta + \sin n\theta )}\bbox[lightgreen, 3px]{(\sin \theta - \sin (m+n-1)\theta)} + (\sin (m+n)\theta)\bbox[pink, 3px]{(\sin (m-1)\theta + \sin (n-1)\theta)} \]

En appliquant les formules de trigonométrie

\[ \bbox[pink, 3px]{ \sin p + \sin q = 2 \sin \left ( \frac{p+q}{2} \right ) \cos \left ( \frac{p-q}{2} \right ) } , \bbox[lightgreen, 3px]{ \sin p - \sin q = 2 \cos \left ( \frac{p+q}{2} \right ) \sin \left ( \frac{p-q}{2} \right ) } \]

on obtient :

\[ ( \sin^2 \theta ) E = \bbox[pink, 3px]{ 2 \sin \left ( \frac{(m+n)\theta}{2} \right )\cos \left ( \frac{(m-n)\theta}{2} \right )} \bbox[lightgreen, 3px]{ 2 \cos \left ( \frac{(m+n)\theta}{2} \right )\sin \left ( \frac{(2-m-n)\theta}{2} \right )} + (\sin (m+n)\theta) \bbox[pink, 3px]{ 2 \sin \left ( \frac{(m+n-2)\theta}{2} \right )\cos \left ( \frac{(m-n)\theta}{2} \right )} \]

Enfin, en appliquant la formule de trigonométrie

\[ 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sin\left(x\right) \]

on remarque que les 2 termes s'annulent purement et simplement, et donc :

\[ ( \sin^2 \theta ) E = 0 \]

En supposant \( \sin \theta \neq 0 \), on arrive à :

\[ E = 0 \]

On a laissé des grains de sable dans le raisonnement, à savoir les suppositions comme quoi

... mais globalement, hors cas "pathologiques", c'est une démonstration... Pas trouvé moins discutable... Et donc,

\[ \frac{p[m] + p[n]}{a[m] + a[n]} - \frac{p[m + n]}{1 + a[m + n]} = 0 \]

D'où la propriété annoncée. \( \square \)

6. Marelles \( \mathcal{M}(t, u) \)

6.1. Définition

La marelle \( \mathcal{M}(t, u) \) sera définie comme étant la marelle

Exemple / exercice : démontrer que \( \mathcal{M}(1, 1) \) est une marelle et n'est autre que la marelle I du §1.2.

6.2. Démonstration : \( \mathcal{M}(t, u) \) est bien une marelle

Il faut montrer que pour tous \( m \) et \( n \) dans \( \mathbb{Z} \), l'intersection de \( D_m \) et de \( D'_n \) se situe sur \( \Delta_{m + n} \).

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection de \( D_m \) et de \( D'_n \), le système d'équations à résoudre est

\[ \begin{pmatrix} a[m] & -1 \\ a[n] & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p[m] \\ p[n] \end{pmatrix} \]

On peut noter

\[ A = \begin{pmatrix} a[m] & -1 \\ a[n] & 1 \end{pmatrix} \]

Son inverse est

\[ A^{-1} = \frac{1}{a[m] + a[n]} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -a[n] & a[m] \end{pmatrix} \]

Si bien que

\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} p[m] \\ p[n] \end{pmatrix} = \frac{1}{a[m] + a[n]} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -a[n] & a[m] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p[m] \\ p[n] \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{a[m] + a[n]} \begin{pmatrix} p[m]+p[n] \\ -a[n]p[m]+a[m]p[n] \end{pmatrix} \]

En particulier,

\[ x = \frac{p[m] + p[n]}{a[m] + a[n]} \]

En vertu de la propriété du §5.5

\[ x = \frac{p[m+n]}{1 + a[m+n]} \]

Donc le point d'intersection est situé sur \( \Delta_{m+n} \).

Et donc, la \( \mathcal{M}(t, u) \) est bien une marelle. \( \square \)

6.3. Illustration sous Desmos

Jouons concrètement avec les marelles que nous venons de définir. Je vous propose d'utiliser ce lien. C'est une page Desmos interactive, ou l'on peut faire varier \( t \) et \( u \) et visualiser \( \mathcal{M}(t, u) \) ou en tous cas ses quelques premières droites. (Augmenter \( q \) pour davantage de droites).