Série complexe, somme explicite de séries réelles, racines de l'unité et magie polynomiale

Soit \( t \in \mathbb{R} \). Définissons :

\[ h(t) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i2\pi{n}/{t}}}{n} \]

Représentation graphique et premières propriétés

Dans le plan complexe, l'ensemble des \( z = x + y i \) images par \( h \) d'un nombre réel \( t \) ressemble à ceci :

Tous les \( h(t) \) sont sur la courbe rouge d'équation

\[ e^x \cos(y) = \frac{1}{2} \]

avec \( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \).

Asymptotes horizontales en \( y = \pm \frac{\pi}{2} \). Tangente verticale en \( x = -\ln(2) \).

Quelques valeurs particulières :

  • \( h(1) \) n'est pas défini : il s'agit de la somme de la série harmonique; en quelque sorte ce serait le point en \( x = +\infty \).
  • \( h(2) \) se situe en \( -\ln(2) \); au signe près, c'est la somme de la série harmonique alternée.
  • \( h(6) \) se situe en \( \frac{\pi}{3} i \).

\(h\) possède des équations fonctionnelles, notamment :

  • \( \forall t \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{Z}, h(t) = h\left(\frac{t}{kt+1}\right) \)
  • \( \forall \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}, h\left(\frac{p}{q}\right) = h\left(\frac{p}{q \mod p}\right) \)

La première permet de réduire le domaine d'étude de \( h \) à \( t \in \left]1, +\infty \right[ \). Sur cet intervalle,

  • \( x(t) = -\ln\left(2\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)\right)\)
  • \( y(t) = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{t} \)

A noter enfin que le développement en série entière figurant dans la définition est celui d'un logarithme (complexe) :

\[ h(t) = - \log(1 - e^{i2\pi{n}/{t}}) \]

C'est aussi \( \mbox{Li}_1(e^{i2\pi{n}/{t}}) \), cf. définition des polylogarithmes.

Séries des inverses de polynômes de degré 2

Mon objectif est de trouver un maximum de formules explicitant la valeur de

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} \]

avec \( t \) entier, \( a \) et \( b \) dans \( \{ 1, \dots, t \} \). Et ce, grâce aux propriétés de \( h \), en me laissant émerveiller au passage.

Pour \( t \in \mathbb{N} - \{ 0, 1 \} \), posons \( \omega = e^{i2\pi/{t}} \). Posons aussi \( tk = X \). Repartons de la définition de \( h \),

\[ h(t) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i2\pi{n}/{t}}}{n} \]

et transformons-la un peu. Avec un changement de variable \( n = tk + L \) dans l'indice de sommation, avec \( L = 1, \dots, t \), on obtient :

\[ h(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\omega ^ 1}{X + 1} + \frac{\omega ^ 2}{X + 2} + \dots + \frac{\omega ^ t}{X + t} \right) \]

Intéressons-nous à un terme de cette nouvelle somme ; mettons-le au même dénominateur :

\[ \frac{\omega ^ 1}{X + 1} + \frac{\omega ^ 2}{X + 2} + \dots + \frac{\omega ^ t}{X + t} = \frac{\left( \omega ^ 1(X + 2) \dots (X + t) \right) + \left((X + 1)\omega^2(X + 3) \dots (X + t)\right) + \dots + \left((X + 1)(X + 2) \dots (X + t-1) \omega^t\right)}{ (X + 1)(X + 2) \dots (X + t)} \]

Si on développe les produits au numérateur, on obtient une combinaison linéaire à coefficients entiers des différents \( X^I \omega ^J \).

J'ai le sentiment que ces coefficients entiers ont des propriétés "magiques" :). Réflexe : entiers + intéressant = je crée une entrée sur OEIS (si elle n'existe pas déjà) : cf. A335442.

Le côté "magique" de ces coefficients sera plus clair sur les quelques exemples qui suivent (première manifestation à partir de \( t = 3 \) ).

Cas \( t = 2 \)

 \( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 2 \)11\( = (X + 1) \)
\( \omega ^ 1 \)12\( = (X + 2) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 = 0 \), on peut simplifier chaque colonne en lui retranchant son minimum :

 \( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 2 \)00\( = 0 \)
\( \omega ^ 1 \)01\( = 1 \)

Ce que l'on peut alors retraduire en :

\[ h(2) = 1 \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 2)}\right) \omega^1 \]

Compte tenu des faits que \( \omega^1 = -1 \) et que \( h(2) = -\ln(2) \), on obtient (un résultat bien connu) :

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k + 1)(2k + 2)} = \ln(2)} \]

Cas \( t = 3 \)

 \( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 3 \)132\( = (X + 1)(X + 2) \)
\( \omega ^ 2 \)143\( = (X + 1)(X + 3) \)
\( \omega ^ 1 \)156\( = (X + 2)(X + 3) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 + \omega ^ 3 = 0 \), on peut simplifier chaque colonne en lui retranchant son minimum.

Ici, la "magie" commence. Ces simplifications en colonnes (à chaque colonne sa simplification, indépendante a priori de la simplification des voisines) semblent toujours redonner en ligne des polynômes en \( X \) dont les racines sont parmi \( \{ -1, ..., -t \} \).

 \( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 3 \)000\( = 0 \)
\( \omega ^ 2 \)011\( = (X + 1) \)
\( \omega ^ 1 \)024\( = 2 (X + 2) \)

Ce que l'on peut alors retraduire en :

\[ h(3) = 1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 3)} \right) \omega^2 + 2 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) \omega^1 \]

Compte tenu des faits que

\[ \omega^1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \] \[ \omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \] \[ h(3) = -\ln\left(2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) + \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)i = -\frac{\ln(3)}{2} + \frac{\pi}{6} i \]

nous obtenons :

\[ 1 \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 3)} \right) + 2 \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) = \left( -\frac{\ln(3)}{2} + \frac{\pi}{6} i \right) \]

En séparant partie réelle et partie imaginaire, nous obtenons un système de 2 équations réelles à 2 inconnues réelles :

\[ \left\{ \begin{array}{l} 1 \left(-\frac{1}{2} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 3)} \right) + 2 \left(-\frac{1}{2} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) = \left( -\frac{\ln(3)}{2} \right) \\ 1 \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 3)} \right) + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) = \left( \frac{\pi}{6} \right) \end{array} \right. \]

Une fois résolu, ce système donne (je passe les détails) :

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 2)(3k + 3)} = \frac{\ln\left(3\right)}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{18}} \] \[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 1)(3k + 3)} = \frac{\ln\left(3\right)}{4}+\frac{\pi\sqrt{3}}{36}} \]

Repartons de :

 \( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 3 \)132\( = (X + 1)(X + 2) \)
\( \omega ^ 2 \)143\( = (X + 1)(X + 3) \)
\( \omega ^ 1 \)156\( = (X + 2)(X + 3) \)

et utilisons cette fois le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 + \omega ^ 3 = 0 \) pour simplifier chaque colonne en lui retranchant la valeur de la ligne \( \omega ^2 \).

 \( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 3 \)0-1-1\( = - (X + 1) \)
\( \omega ^ 2 \)000\( = 0 \)
\( \omega ^ 1 \)013\( = (X + 3) \)

Ce que l'on peut alors retraduire en :

\[ h(3) = -1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 2)(3k + 3)} \right) \omega^3 + 1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 1)(3k + 2)} \right) \omega^1 \] \[ -\frac{\ln(3)}{2} + \frac{\pi}{6} i = - \left( \frac{\ln\left(3\right)}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{18} \right) \left( 1 \right) + \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 1)(3k + 2)} \right) \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \]

Equation dont la solution est (je passe les détails) :

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k + 1)(3k + 2)} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9}} \]

Curieusement, si on place nos 3 sommes dans un repère où l'axe des \( x \) compte le nombre de \( \frac{\ln\left(3\right)}{4} \) et l'axe des \( y \) celui des \( \frac{\pi \sqrt{3}}{36} \), alors nos 3 points sont alignés :

Cas \( t = 4 \)

 \( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 4 \)16116\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3) \)
\( \omega ^ 3 \)17148\( = (X + 1)(X + 2)(X + 4) \)
\( \omega ^ 2 \)181912\( = (X + 1)(X + 3)(X + 4) \)
\( \omega ^ 1 \)192624\( = (X + 2)(X + 3)(X + 4) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 + \omega ^ 3 + \omega ^ 4 = 0 \), on peut simplifier chaque colonne en lui retranchant son minimum.

La "magie" polynomiale continue d'opérer...

 \( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 4 \)0000\( = 0 \)
\( \omega ^ 3 \)0132\( = (X + 1)(X + 2) \)
\( \omega ^ 2 \)0286\( = 2 (X + 1)(X + 3) \)
\( \omega ^ 1 \)031518\( = 3 (X + 2)(X + 3) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 3 = 0 \), on peut encore simplifier chaque colonne.

La "magie" polynomiale continue d'opérer...

 \( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 4 \)0000\( = 0 \)
\( \omega ^ 3 \)0000\( = 0 \)
\( \omega ^ 2 \)0286\( = 2 (X + 1) (X + 3)\)
\( \omega ^ 1 \)021216\( = 2 (X + 2) (X + 4)\)

Ce que l'on peut alors retraduire en :

\[ h(4) = 2 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 4)} \right) \omega^2 + 2 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) \omega^1 \]

\( 4 \) étant divisible par \( 2 \) et par \( 4 \), la composante sur \( \omega^2 \) de cette somme (donc la partie réelle) ne va pas nous apprendre grand'chose de nouveau, car

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 2)(4k + 4)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4(2k + 1)(2k + 2)} = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k + 1)(2k + 2)} \]

au facteur \( \frac{1}{4} \) près, c'est un résultat déjà obtenu précédemment grâce au cas \( t = 2 \) traité plus haut. Consignons-le néanmoins :

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 2)(4k + 4)} = \frac{\ln(2)}{4}} \]

En revanche, la composante sur \( \omega^1 = i \) de cette somme nous apprend que

\[ 2 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 3)} \right) = y(4) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]

Ainsi donc,

\[ \boxed{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 1)(4k + 3)} = \frac{\pi}{8}} \]

Maintenant, nous sommes un peu bloqués pour calculer :

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 1)(4k + 2)} = ? \] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 1)(4k + 4)} = ? \] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 2)(4k + 3)} = ? \] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(4k + 3)(4k + 4)} = ? \]

Mais au fait, combien de telles sommes y a-t-il à calculer pour un \( t \) fixé ? Il y en a autant que de paires \( \{ a, b \} \) d'éléments de \( \{ 1, \dots, t \} \), soit :

\[ {t \choose 2} \]
ce qui donne bien \( {4 \choose 2} = 6 \) possibilités pour \( t = 4 \), visualisables comme étant les 6 arêtes sur le graphe complet \( K_4 \) ci-contre.

S'il n'y a pas ambiguité sur \( t \), on peut choisir de noter \( S_{ab} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} \)

J'ai représenté en rouge et bleu les deux sommes que nous sommes parvenus à calculer jusqu'à présent ; en noir, celles pour lesquelles nous n'avons pas encore de résultat.

Pour progresser, je vais m'aider d'une relation que je vais appeler "loi des mailles", valable pour tout \( t \) et pas seulement 4, et que l'on peut établir comme suit :

\[ \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} = \frac{A}{(tk + a)} + \frac{B}{(tk + b)} \] \[ \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} = \frac{A (tk + b)}{(tk + a)(tk + b)} + \frac{B(tk + a)}{(tk + a)(tk + b)} \] \[ \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} = \frac{ tk (A + B) + (bA + aB) }{(tk + a)(tk + b)} \]

Par identification, \( 1 = tk (A + B) + (bA + aB) \), donc \( A + B = 0 \), \( B = -A \), \( (b - a)A = 1 \), \( A = \frac{1}{b - a} \) et donc,

\[ \frac{(b - a)}{(tk + a)(tk + b)} = \frac{1}{(tk + a)} - \frac{1}{(tk + b)} \]

Cette égalité valable pour tous \( a \) et \( b \), l'est aussi pour tous \( b \) et \( c \), pour tous \( c \) et \( a \), ce qui permet de la cloner :

\[ \frac{(b - a)}{(tk + a)(tk + b)} = \frac{1}{(tk + a)} - \frac{1}{(tk + b)} \] \[ \frac{(c - b)}{(tk + b)(tk + c)} = \frac{1}{(tk + b)} - \frac{1}{(tk + c)} \] \[ \frac{(a - c)}{(tk + c)(tk + a)} = \frac{1}{(tk + c)} - \frac{1}{(tk + a)} \]

Additionnons ces 3 égalités, on obtient :

\[ \frac{(b - a)}{(tk + a)(tk + b)} + \frac{(c - b)}{(tk + b)(tk + c)} + \frac{(a - c)}{(tk + c)(tk + a)} = 0 \]

Ce qui est vrai pour un terme de la série l'est encore pour la série tout entière,

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(b - a)}{(tk + a)(tk + b)} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(c - b)}{(tk + b)(tk + c)} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a - c)}{(tk + c)(tk + a)} = 0 \] \[ (b - a) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(tk + a)(tk + b)} + (c - b) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(tk + b)(tk + c)} + (a - c) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(tk + c)(tk + a)} = 0 \] \[ \boxed { (b - a) S_{ab} + (c - b) S_{bc} + (a - c) S_{ca} = 0 } \]

En termes imagés, cette dernière relation je la vois un peu comme une "relation de Chasles", ou une "loi des mailles" (analogie avec le calcul des tensions en électricité) ou bien encore (et c'est peut-être plus juste, étant donné la présences de coefficients \( (b - a) \) ), comme une "loi d'équilibre des moments" en mécanique. On peut la généraliser à n'importe quel nombre de lettres \( a, b, c, d, \dots, \).

Dans notre schéma de tout à l'heure, appliquons par exemple cette loi des mailles à la maille (1, 2, 3, 4) (et avec \( t = 4 \) ) :

\[ (2 - 1) S_{12} + (3 - 2) S_{23} + (4 - 3) S_{34} + (1 - 4) S_{14} = 0 \] \[ S_{12} + S_{23} + S_{34} - 3 S_{14} = 0 \]

On peut appliquer cette loi des mailles à toutes les mailles du graphe. Mais a-t-on suffisamment d'équations par rapport au nombre d'inconnues ?

Sauf erreur de ma part, non. Nous ne pouvons (pour \( t = 4 \) ) ainsi obtenir que 3 équations non liées, alors que nous avons 4 inconnues.

Partons des valeurs numériques approchées :

\[ S_{12} = 0.5659... \] \[ S_{14} = 0.3041... \] \[ S_{23} = 0.2194... \] \[ S_{34} = 0.1271... \]

[Conjectures] Il semblerait que ...

\[ S_{12} = 1 \times \left ( \frac{\ln(2)}{4} \right ) + 3 \times \left ( \frac{\pi}{24} \right ) \] \[ S_{14} = 1 \times \left ( \frac{\ln(2)}{4} \right ) + 1 \times \left ( \frac{\pi}{24} \right ) \] \[ S_{23} = -1 \times \left ( \frac{\ln(2)}{4} \right ) + 3 \times \left ( \frac{\pi}{24} \right ) \] \[ S_{34} = 3 \times \left ( \frac{\ln(2)}{4} \right ) - 3 \times \left ( \frac{\pi}{24} \right ) \]

(il suffisait d'en trouver un pour trouver tous les autres)

[Conjectures] Plaçons tous ces points dans un repère où \( x \) est le nombre de \( \frac{\ln(2)}{4} \) et où \( y \) est celui de \( \frac{\pi}{24} \). On obtient :

(la loi des mailles appliquée aux cycles de 3 éléments explique les quatre alignements de 3 points)

[Conjectures] Faut-il voir au fait observé que ces sommes semblent toujours bien se décomposer suivant 2 axes, \( \ln(2) \) et \( \pi \), une preuve d'indépendance algébrique entre \( \ln(2) \) et \( \pi \) ?

Cas \( t = 5 \)

 \( X^4 \)\( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 5 \)110355024\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) \)
\( \omega ^ 4 \)111416130\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 5) \)
\( \omega ^ 3 \)112497840\( = (X + 1)(X + 2)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 2 \)1135910760\( = (X + 1)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 1 \)11471154120\( = (X + 2)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 + \omega ^ 3 + \omega ^ 4 + \omega ^5 = 0 \), on peut simplifier chaque colonne en lui retranchant son minimum.

La "magie" polynomiale continue d'opérer...

 \( X^4 \)\( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 5 \)00000\( = 0 \)
\( \omega ^ 4 \)016116\( = (X+1)(X+2)(X+3) \)
\( \omega ^ 3 \)02142816\( = 2(X+1)(X+2)(X+4) \)
\( \omega ^ 2 \)03245736\( = 3(X+1)(X+3)(X+4) \)
\( \omega ^ 1 \)043610496\( = 4(X+2)(X+3)(X+4) \)

Ce que l'on peut alors retraduire en :

\[ h(5) = 1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 4)(X + 5)} \right) \omega^4 + 2 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 3)(X + 5)} \right) \omega^3 + 3 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 2)(X + 5)} \right) \omega^2 + 4 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(X + 1)(X + 5)} \right) \omega^1 \]

Je ne vois guère comment poursuivre. \( 5 \) étant premier, j'ai a priori exploité toutes les formules liant les sommes de \( \omega^L \) égales à 0, vu qu'il n'y en a qu'une. Il reste 4 inconnues dirigées sur 4 composantes.

Cas \( t = 6 \)

 \( X^5 \)\( X^4 \)\( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 6 \)11585225274120\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 5 \)11695260324144\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) (X + 6) \)
\( \omega ^ 4 \)117107307396180\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3) (X + 5)(X + 6) \)
\( \omega ^ 3 \)118121372508240\( = (X + 1)(X + 2) (X + 4)(X + 5)(X + 6) \)
\( \omega ^ 2 \)119137461702360\( = (X + 1) (X + 3)(X + 4)(X + 5)(X + 6) \)
\( \omega ^ 1 \)1201555801044720\( = (X + 2)(X + 3)(X + 4)(X + 5)(X + 6) \)

En utilisant le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 2 + \omega ^ 3 + \omega ^ 4 + \omega ^5 + \omega ^6 = 0 \), on peut simplifier chaque colonne en lui retranchant son minimum.

La magie polynomiale continue d'opérer...

 \( X^5 \)\( X^4 \)\( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 6 \)000000\( = 0 \)
\( \omega ^ 5 \)0110355024\( = (X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) \)
\( \omega ^ 4 \)02228212260\( = 2(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 5) \)
\( \omega ^ 3 \)0336147234120\( = 3(X + 1)(X + 2)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 2 \)0452236428240\( = 4(X + 1)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 1 \)0570355770600\( = 5(X + 2)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)

Zut, à ce stade, j'ai le choix. Je peux tenter d'utiliser l'une des 3 formules suivantes (inutile d'ajouter à la liste celles comportant du \( \omega ^6 \)) :

Dans l'optique de réduire au maximum le nombre d'inconnues, j'ai sans doute intérêt à supprimer du \( \omega^5 \) dont les coefficients sont petits.

Choisissons donc d'utiliser le fait que \( \omega ^ 1 + \omega ^ 3 + \omega ^ 5 = 0 \), pour simplifier encore chaque colonne.

 \( X^5 \)\( X^4 \)\( X^3 \)\( X^2 \)\( X^1 \)\( X^0 \)
\( \omega ^ 6 \)000000\( = 0 \)
\( \omega ^ 5 \)000000\( = 0 \)
\( \omega ^ 4 \)02228212260\( = 2(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 5) \)
\( \omega ^ 3 \)022611218496\( = 2(X + 1)(X + 2)(X + 4)(X + 6) \)
\( \omega ^ 2 \)0452236428240\( = 4(X + 1)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)
\( \omega ^ 1 \)0460320720576\( = 5(X + 2)(X + 3)(X + 4)(X + 5) \)

A POURSUIVRE