Soit \( k \) un nombre réel et soit \( M_k \) la fonction de \( \mathbb{N} \) dans \( \mathbb{R}^2 \) assimilé à \( \mathbb{C} \) définie par
\[ M_k(n) = n e^{i 2 \pi k n} \] \[ M_k(n) = \left ( n \cos( 2 \pi k n ), n \sin (2 \pi k n) \right ) \]On peut supposer \( k \) dans l'intervalle \( [0,1[ \), quitte à prendre \( \{ k \} \) (la partie fractionnaire de \( k \)), car de toute évidence, \( M_k = M_{\{ k \} } \).
Deux exemples :
| \( k = 1/7 \) | \( k = \sqrt{2} \) |
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Partons de constats visuels. Dans l'exemple de gauche, pour de petits \( n \) ( \( \leq 6 \) pour moi), on "voit" une spirale ; pour de grands \( n \) ( \( \geq 9 \) pour moi), on "voit" sept demi-droites radiales. Dans l'exemple de droite, pour de petits \( n \), on "voit" une spirale dextre ; pour de grands \( n \), on "voit" une spirale sénestre. La terminologie dextre/sénestre me vient de celle des coquilles d'escargots.
Comment rendre ces impressions rigoureuses mathématiquement ? Ce que l'on voit découle des proximités relatives des points. Dans l'exemple de gauche, le point plus grand que 0 le plus proche de 0, c'est 1 ; le point plus grand que 1 le plus proche de 1, c'est 2 ; etc. Jusqu'à arriver à grosso modo 7, où il n'est pas évident de voir quel est le point plus grand que 7 le plus proche de 7 : est-ce 8 ? Est-ce 14 ? Même dilemme avec 8 (9? 15?). Ensuite, il devient assez clair que le point plus grand que 9 le plus proche de 9 est 16 (et non plus 10). La transition s'est faite, de la spirale aux droites radiales. Un phénomène analogue est à l'oeuvre dans l'exemple de droite. La différence principale que je vois entre les deux exemples réside dans le fait que dans le 1er cas, on a affaire à un nombre \( k \) rationnel, donc à des points angulairement périodiques, donc (à force de s'éloigner de l'origine) à des droites radiales ; tandis que dans le second, \( k \) a été choisi irrationnel, ce qui probablement exclut ce genre de comportement asymptotique radial.
Soit \( n \in \mathbb{N} \), soit \( d \in \mathbb{N} \), notons \( m = n + d \) et calculons la distance entre \( M_k(n) \) et \( M_k(m) \).
\[ M_k(m) - M_k(n) = (n + d) e^{i 2 \pi k (n + d)} - n e^{i 2 \pi k n} \] \[ M_k(m) - M_k(n) = e^{i 2 \pi k n} \left ((n + d) e^{i 2 \pi k d} - n \right) \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right | = \left | (n + d) e^{i 2 \pi k d} - n \right | \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = ((n + d) \cos{2 \pi k d} - n)^2 + ((n + d) \sin{2 \pi k d})^2 \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = (n + d)^2 + n^2 - 2 n (n + d) \cos{2 \pi k d} \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = 2n^2 + d^2 + 2 n d - 2 n (n + d) \cos{2 \pi k d} \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = d^2 + 2n(n + d) - 2 n (n + d) \cos{2 \pi k d} \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = d^2 + 2n(n + d)(1 - \cos{2 \pi k d}) \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = d^2 + 4n(n + d)\sin^2{\pi k d} \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right |^2 = (m - n)^2 + 4 m n \sin^2\left(\pi k (m - n)\right) \] \[ \left | M_k(m) - M_k(n) \right | = \sqrt{(m - n)^2 + 4 m n \sin^2\left(\pi k (m - n)\right)} \]
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Ci-contre, une représentation graphique animée de la distance entre M(n) et M(m), pour k valant \( 1/7 \), pour d (\( = m - n \)) compris entre 0 et 10 (abscisses), et pour n compris entre 0 et 10 (le temps qui s'écoule). Mis à part le cas d = 0, pour lequel trivialement n est le point le plus proche de n, le point le plus proche de n est tantôt n + 1 (quand n <= 7), le point le plus proche de n est tantôt n + 7 (quand n >= 8). |
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Ci-contre, une représentation graphique animée de la distance entre M(n) et M(m), pour k valant \( \sqrt{2} - 1 \), pour d (\( = m - n\)) compris entre 0 et 10 (abscisses), et pour n compris entre 0 et 10 (le temps qui s'écoule). Mis à part le cas d = 0, pour lequel trivialement n est le point le plus proche de n, le point m le plus proche de n, en fonction de n, varie comme suit :
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Remarquer que tous les points \( M_k(n) \) sont sur la spirale d'équation polaire \( r = \frac{1}{2 \pi k} \theta \). Pour s'en convaincre, penser \( r_n = n \) et \( \theta_n = 2 \pi k n \) ; par conséquent \( r_n = \frac{1}{2 \pi k} \theta_n \).
Noter que sur cette spirale, quand \( \theta \) augmente de \( 2 \pi \), \( r \) augmente de \( 1/k \).
A POURSUIVRE...
établir le lien avec les fractions continues ?!?
LR, 27/03/2022.