Soit \( (R_n)_{n \in \mathbb{N}} \) la suite de fonctions définie par :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black]{ \begin{array}{lcl} R_0(x) & = & 1 \\ R_{n+1}(x) & = & \left( R_n(x) \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' \\ \end{array} } \]Je constate que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( R_n(1) \) est un nombre entier, ce qui permet de former la suite \( (R_n(1))_{n \in \mathbb{N}} \) :
\[ 1, 0, -1, 3, -2, -45, 347, -756, -13031, 184245, -810034, -11404503, 264733177, \dots \]Mon but est d'étudier cette suite et en particulier de démontrer que tous ses termes sont entiers. Sur OEIS cette suite (que je crée) porte le numéro : A339513.
Si on tâtonne pour commencer, on voit que :
\[ \begin{array}{lcl} R_0(x) & = & 1 \\ R_1(x) & = & \left ( 1 \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' = \dots = 2 \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \\ R_2(x) & = & \left ( 2 \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' = \dots = 4 \frac{1 - 8x^2 + 3x^4}{(1 + x^2)^4} \\ R_3(x) & = & \left ( 4 \frac{1 - 8x^2 + 3x^4}{(1 + x^2)^4} \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' = \dots = 8 \frac{1 - 33x^2 + 71x^4 - 15x^6}{(1 + x^2)^6} \\ \dots \\ \end{array} \]Cela invite à conjecturer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( R_n(x) \) est de la forme :
\[ R_n(x) = 2^n \frac{P_n(x^2)}{(1 + x^2)^{2n}} \]avec \( P_n \) un polynôme de degré \( n \). Cette conjecture se démontre par récurrence. En effet, la propriété est vraie pour \( n = 0 \) :
\[ R_0(x) = 1 = 2^0 \frac{1} {(1 + x^2)^{2\times0}} = 2^0 \frac{P_0(x^2)} {(1 + x^2)^{2\times0}} \]où \( P_0 = 1 \) est bien un polynôme de degré 0. Ensuite, si la propriété est vraie au rang \( n \), alors :
\[ R_{n+1}(x) = \left( R_n(x) \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' = \left ( 2^n \frac{P_n(x^2)}{(1 + x^2)^{2n}} \times \frac{2x}{1+x^2} \right)' = 2^{n+1} \left ( \frac{x P_n(x^2)}{(1 + x^2)^{2n+1}} \right)' \] \[ R_{n+1}(x) = 2^{n+1} \left ( \frac{\left( x P_n(x^2) \right)' (1 + x^2)^{2n+1} - \left (x P_n(x^2) \right) \left( (1 + x^2)^{2n+1} \right)'}{\left((1 + x^2)^{2n+1} \right)^2} \right ) \] \[ R_{n+1}(x) = 2^{n+1} \frac{\left(x P_n(x^2)\right)' (1 + x^2)^{2n+1} - x P_n(x^2) (2n+1) (2x) (1 + x^2)^{2n} }{ (1 + x^2)^{4n+2} } = 2^{n+1} \frac{(x P_n(x^2))'(1+x^2)-(4n+2)x^2P_n(x^2)}{(1 + x^2)^{2(n+1)} } \]Posons :
\[ P_{n+1}(x^2) = (x P_n(x^2))'(1+x^2)-(4n+2)x^2P_n(x^2) \]Il vient :
\[ P_{n+1}(x^2) = (P_n(x^2) + 2x^2P'_n(x^2))(1 + x^2) - (4n+2)x^2P_n(x^2) \] \[ P_{n+1}(x^2) = P_n(x^2) \left ( 1 - (4n+1)x^2 \right ) + P'_n(x^2) \left ( 2x^2(1+x^2) \right ) \]ou plus simplement
\[ P_{n+1} = ( 1 - (4n+1)x ) P_n + (2x+2x^2) P'_n \]Le terme de plus haut degré dans \( P_{n+1} \) est celui en \( x ^{n+1} \) et dont le coefficient vaut \( -(4n+1)a_{n,n} + 2 n a_{n,n} = -(2n + 1) a_{n,n} \), si bien entendu, \( a_{n,n} \) désigne le coefficient de \( x^n \) dans \( P_n \).
\( R_{n+1}(x) \) s'écrit bien sous la forme \( 2^{n+1} \frac{P_{n+1}(x^2)}{(1+x^2)^{2(n+1)}} \) où \( P_{n+1} \) est un polynôme de degré \( n+1 \) ; donc la propriété est vraie pour \( n + 1 \) ; donc elle est vraie pour tout \( n \).
\[ \bbox[white, border: 2px solid black] { \forall n \in \mathbb{N}, R_n(x) = 2^n \frac{P_n(x^2)}{(1+x^2)^{2n}}} \mbox{ avec } P_n \mbox{ polynôme de degré } n \]Corollaire : pour tout \( n \), \( R_n \) est une fonction paire.
Regardons d'un peu plus près la famille de polynômes que nous venons d'obtenir :
\[ \begin{array}{lll} P_0 & = & 1 \\ P_1 & = & 1 - x \\ P_2 & = & 1 - 8 x + 3 x^2 \\ P_3 & = & 1 - 33 x + 71 x^2 - 15 x^3 \\ P_4 & = & 1 - 112 x + 718 x^2 - 744 x^3 + 105 x^4 \\ \dots & & \\ \end{array} \]La recherche des coefficients sur OEIS donne (au signe près) la réponse A214406. Le paragraphe suivant prouve qu'il s'agit bien d'eux.
Posons :
\[ P_n = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x^k \]La relation de récurrence trouvée précédemment sur les polynômes,
\[ P_{n+1} = ( 1 - (4n+1)x ) P_n + (2x+2x^2) P'_n \]va nous permettre d'obtenir une relation de récurrence sur les coefficients. Cela commence ainsi,
\[ \sum_{k=0}^{n+1} a_{n+1,k} x^k = ( 1 - (4n+1)x ) \sum_{k=0}^n a_{n,k} x^k + (2x + 2x^2) \sum_{k=1}^n k a_{n,k} x^{k-1} \] \[ \sum_{k=0}^{n+1} a_{n+1,k} x^k = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x^k - (4n+1) \sum_{k=0}^n a_{n,k} x^{k+1} + 2 \sum_{k=1}^n k a_{n,k} x^k + 2 \sum_{k=1}^n k a_{n,k} x^{k+1} \]Effectuons un changement variable/indice dans les sommes pour n'additionner que des \( x^k \) ; il vient :
\[ \sum_{k=0}^{n+1} a_{n+1,k} x^k = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x^k - (4n+1) \sum_{k=1}^{n+1} a_{n,k-1} x^k + 2 \sum_{k=1}^n k a_{n,k} x^k + 2 \sum_{k=2}^{n+1} (k-1) a_{n,k-1} x^k \]Pour \( 2 \leq k \leq n \), nous pouvons écrire :
\[ a_{n+1,k} = -(4n + 2k +3) a_{n,k-1} + (2k + 1) a_{n,k} \]En y regardant de plus près et à condition de poser \( a_{n,k} = 0 \) lorsque \( k \lt 0 \) ou \( k \gt n \), on constate que cette égalité reste vraie pour tout \( k \) :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black] { \forall k \in \mathbb{Z}, a_{n+1,k} = -(4n + 2k +3) a_{n,k-1} + (2k + 1) a_{n,k}} \]Or (au signe \( - \) près), cette relation de récurrence est bien celle qui définit A214406, de sorte que :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in \{ 0, \dots, n \}, a_{n,k} = (-1)^k \mbox{A214406}(n,k) \]Cela mérite un schéma, étant donné l'analogie avec le triangle de Pascal :
\( a_{0,0} = 1 \) est la valeur du noeud de départ. La valeur des autres noeuds s'obtient de proche en proche : \( a_{n+1,k} \) s'obtient en additionnant une ou deux contributions,
On visualise aussi que la suite des valeurs le long de la diagonale est celle des \( a_{n,n} = (-1)^n (2n-1)!! \), les doubles factorielles de nombres impairs, alternées (soit A001147, au signe près).
Un papier de D. Dominici (celui-ci) établit un théorème, selon lequel, lorsqu'on a une fonction \( f \) et que l'on itère l'opérateur \( D_f \) ainsi défini :
\[ \begin{array}{lll} D_f^0(x) & = & 1 \\ D_f^{n}(x) & = & \frac{d}{dx} \left( f(x) \times D_f^{n-1}(x) \right) \\ \end{array} \]alors, pour \( a \) tel que \( f(a) \) existe et est non nul,
\[ H(x) = a + f(a) \sum_{n \leq 1} D_f^{n-1}(a) \frac{x^n}{n!} \]où :
Or c'est exactement ce que nous faisons avec notre famille de fonctions \( R_n \). Mais l'application du théorème à notre cas précis, à savoir
\[ f(x) = \frac{2x}{1+x^2} \] \[ a = 1 \]ne donne pas entière satisfaction (parce que \( a \ne 0 \)) ; il est préférable d'appliquer le théorème à :
\[ g(x) = f(x + 1) = \frac{2(x+1)}{1+(x+1)^2} \] \[ a = 0 \]Cela donne :
\[ \begin{array}{lll} g(0) & = & f(1) = 1 \\ h(x) & = & \int_0^x \frac{1+(t+1)^2}{2(t+1)} dt \\ & = & \frac{1}{2} \int_0^x \frac{1}{t+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^x (t+1) dt \\ & = & \frac{1}{2} \left[ \ln(t+1) \right ] _{t=0}^{t=x} + \frac{1}{4} \left[ (t+1)^2 \right]_{t=0}^{t=x} \\ & = & \frac{\ln(x + 1)}{2} + \frac{(x+1)^2 - 1}{4} \\ & = & \frac{\ln(x + 1)}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \\ H(x) & = & \sum_{n \geq 1} D_g^{n-1}(0) \frac{x^n}{n!} \\ \end{array} \]Maintenant, il est assez facile de quitter \( g \) (petit artifice de calcul) pour revenir à \( f \), en se rendant compte que quel que soit \( n \geq 0 \),
\[ D_g^{n}(0) = D_f^{n}(1) \]On peut même revenir aux notations du tout premier paragraphe,
\[ D_f^{n}(1) = R_n(1) \]Résultat : la suite des \( R_n(1) \) a pour série génératrice exponentielle la fonction \( H \),
\[ \bbox[white, border: 2px solid black] {H(x) = \sum_{n \geq 1} R_{n-1}(1) \frac{x^n}{n!}} \]dont la fonction réciproque, \( h \), c'est-à-dire la fonction satisfaisant \( \bbox[white, border: 2px solid black] {H \circ h = h \circ H = \mbox{Id}} \), est :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black] {h(x) = \frac{\ln(x + 1)}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}} \]Représentation graphique de \( H \) :
Remarque : \( \ln(1+x)= x - x^2 / 2 + x^3/3 - x^4/4 \dots \), donc \( h(x) \) peut aussi être vue comme étant
\[ h(x) = 0 + x + 0 x^2 + \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{8} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^6}{12} + \dots \]... soit une série entière dans laquelle les choses se "goupillent" bien pour avoir les 3 premiers coefficients égaux à 0, 1, 0.
Qui a parlé de séries entières ? Et si on essayait sur les \( R_n \) voir ce que cela donne ?
Ecrivons \( R_n(x) \) sous la forme d'une série entière comme suit (les calculs justifieront a posteriori ce choix a priori compliqué de notations) :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black] { R_n(x) = 2^n ( r_{n,0} - r_{n,1} x^2 + r_{n,2} x^4 - r_{n,3} x^6 + \dots )} \]et déduisons de la relation de récurrence sur les \( R_n \), une relation de récurrence sur les coefficients \( r_{n,k} \). Pour commencer, multiplions par \( \frac{2x}{1+x^2} \),
\[ R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} = 2^{n+1} (r_{n,0} x - r_{n,1} x^3 + r_{n,2} x^5 - r_{n,3} x^7 + \dots ) \times \frac{1}{1+x^2} \]Or, \( \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots \), donc
\[ R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} = 2^{n+1} (r_{n,0} x - r_{n,1} x^3 + r_{n,2} x^5 - r_{n,3} x^7 + \dots ) (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) \] \[ R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} = 2^{n+1} \begin{array}{|r|rrrrr} \hline & x & x^3 & x^5 & x^7 & \dots \\ \hline +1 \times & +r_{n,0} & -r_{n,1} & +r_{n,2} & -r_{n,3} & \dots \\ -1 \times & & +r_{n,0} & -r_{n,1} & +r_{n,2} & \dots \\ +1 \times & & & +r_{n,0} & -r_{n,1} & \dots \\ -1 \times & & & & +r_{n,0} & \dots \\ \hline \end{array} \] \[ R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} = 2^{n+1} \left( (r_{n,0}) x - (r_{n,1} + r_{n,0}) x^3 + (r_{n,2} + r_{n,1} + r_{n,0}) x^5 - (r_{n,3} + r_{n,2} + r_{n,1} + r_{n,0}) x^7 + \dots \right) \] \[ R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} = 2^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \left( \sum_{i=0}^k r_{n,i} \right) x^{2k+1} \]Et maintenant, dérivons, pour obtenir :
\[ R_{n+1}(x) = \left( R_n(x) \frac{2x}{1+x^2} \right )' = 2^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( \sum_{i=0}^k r_{n,i} \right)(2k+1) x^{2k} \]Bien entendu, \( R_{n+1}(x) \) est aussi égal par hypothèse à :
\[ R_{n+1}(x) = 2^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k r_{n+1,k} x^{2k} \]Il ne reste plus qu'à identifier les coefficients, ce qui donne :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black]{r_{n+1,k} = \left( \sum_{i=0}^k r_{n,i} \right)(2k+1)} \]Partant du fait que \( R_0(x) = 1 = 1 + 0x^2 + 0x^4 + \dots \), nous pouvons construire nos séries entières (/ leurs coefficients / la suite des coefficients ) par récurrence, par exemple à l'aide du programme PARI ci-dessous.
(PARI)
rr(n,k)=if(n==0,if(k==0,1,0),sum(i=0,k,rr(n-1,i))*(2*k+1))
rrr(n,kmax)=for(k=0,kmax,print1(rr(n,k),", "))
rrrr(n,kmax)=my(p=0);for(k=0,kmax,p=p+rr(n,k)*x^(2*k));p
for(n=0,10,rrr(n,10);print1("\n"))
for(k=0,10,for(n=0,10,print1(rr(n,k),", "));print1("\n"))
for(n=0,10,for(k=0,10,print1(rr(n,k),", "));print1("\n"))
Tableau des coefficients \( r_{n,k} \) :
\[ \begin{array}{|r|rrrrrrr} \hline . & k=0 & k=1 & k=2 & k=3 & k=4 & k=5 & k=6 & k=7 & k=8 & k=9 & k=10 & \dots \\ \hline n= 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ n= 1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 21 & \dots \\ n= 2 & 1 & 12 & 45 & 112 & 225 & 396 & 637 & 960 & 1377 & 1900 & 2541 & \dots \\ n= 3 & 1 & 39 & 290 & 1190 & 3555 & 8701 & 18564 & 35820 & 64005 & 107635 & 172326 & \dots \\ n= 4 & 1 & 120 & 1650 & 10640 & 45675 & 151536 & 420420 & 1022400 & 2246805 & 4556200 & 8654646 & \dots \\ n= 5 & 1 & 363 & 8855 & 86877 & 522774 & 2305842 & 8190546 & 24786630 & 66287199 & 160653493 & 359311953 & \dots \\ n= 6 & 1 & 1092 & 46095 & 672672 & 5569830 & 32171832 & 144498354 & 538528320 & 1737214479 & 4994009020 & 13065245193 & \dots \\ n= 7 & 1 & 3279 & 235940 & 5039020 & 56607210 & 423076742 & 2378478388 & 10822322940 & 41797945475 & 141601522205 & 430877094648 & \dots \\ n= 8 & 1 & 9840 & 1196100 & 36947680 & 556969050 & 5334584112 & 37224727540 & 205286452800 & 943223052915 & 3744619392800 & 13187208842808 & \dots \\ n= 9 & 1 & 29523 & 6029705 & 267075347 & 5356104039 & 65226774613 & 561007646199 & 3726613306845 & 20258286980646 & 93789383323922 & 380593335688566 & \dots \\ n=10 & 1 & 88572 & 30296145 & 1911942032 & 50663147535 & 779416145508 & 8214227572551 & 65377154494080 & 418484987097606 & 2249716798145960 & 10478989142147526 & \dots \\ \dots \\ \hline \end{array} \]Développements en séries entières des \( R_n(x) \) correspondants :
\[ \begin{array}{lcrrrrrrrr} R_0(x) & = 1( & 1 & & & & & & & & & & & \dots & ) \\ R_1(x) & = 2( & 1 & - 3x^2 & + 5x^4 & - 7x^6 & + 9x^8 & - 11x^{10} & + 13x^{12} & - 15x^{14} & + 17x^{16} & - 19x^{18} & + 21x^{20} & \dots & ) \\ R_2(x) & = 4( & 1 & -12x^2 & +45x^4 & - 112x^6 & + 225x^8 & - 396x^{10} & + 637x^{12} & - 960x^{14} & + 1377x^{16} & - 1900x^{18} & + 2541x^{20} & \dots & ) \\ R_3(x) & = 8( & 1 & 39x^2 & +290x^4 & -1190x^6 & +3555x^8 & -8701x^{10} & +18564x^{12} & -35820x^{14} & +64005x^{16} & -107635x^{18} & +172326x^{20} & \dots & ) \\ \dots \\ \end{array} \]Le tableau des coefficients \( r_{n,k} \) regorge de suites déjà connues de l'OEIS. Cela vaut le coup de s'y arrêter quelques minutes :
Cf. A039755 Triangle of B-analogs of Stirling numbers of the second kind.. (Nota : sur OEIS, c'est un tableau triangulaire ; ici c'est un tableau carré).
Soit :
\[ f(x) = \frac{x}{1+x^2} \]Nous prétendons que si la division euclidienne de \( n \) par \( 2 \) est \( n = 2 m + r \), \( m = \lfloor n/2 \rfloor \in \mathbb{N} \) et \( r \in \{ 0, 1 \} \), alors :
\[ f^{(n)}(x) = (-1)^m (n!) \left ( \sum_{k=0}^{m+r} (-1)^k \binom{n+1}{2k+1-r} x^{2k + 1 - r} \right) \frac{1}{ (1+x^2)^{n+1}} \](à démontrer)
Semble être une suite d'entiers tout à fait remarquable la suite des \( 2^{m+1} \frac{f^{(n)}(1)}{n!} \) :
\[ 2^{m+1} \frac{f^{(n)}(1)}{n!} = \frac{ (-1)^m }{2^{n-m}} \left ( \sum_{k=0}^{m+r} (-1)^k \binom{n+1}{2k+1-r} \right) \] \[ 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, \dots \]On peut illustrer cela à l'aide d'une jolie frise :
En résumé, on doit pouvoir écrire, tout en conservant une suite d'entiers :
\[ 2 f^{(n)}(1) = \frac{n!}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}} \times \begin{array}{|rl|} +1, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 0, 3, 6 \} \\ 0, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 1, 5 \} \\ -1, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 2, 4, 7 \} \\ \end{array} \](à démontrer)
Pour simplifier encore davantage les notations, posons :
\[ g = 2f \] \[ g_n = g^{(n)} \]Il vient :
\[ \bbox[white, border: 2px solid black]{ g_n(1) = \frac{n!}{2^{\lfloor n/2 \rfloor}} \times \begin{array}{|rl|} +1, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 0, 3, 6 \} \\ 0, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 1, 5 \} \\ -1, & n \in 8 \mathbb{N} + \{ 2, 4, 7 \} \\ \end{array} } \]Quant à elle, la définition des \( R_n \) est reformulable comme suit :
\[ \begin{array}{lcl} R_0 & = & 1 \\ R_{n+1} & = & \left( R_n g \right)' \\ \end{array} \]On peut alors de proche en proche écrire les \( R_n \) en fonction des \( g_n \) et en déduire la valeur des \( R_n(1) \). L'idée est la suivante (on détaille après) :
\[ \begin{array}{lcl|lcll} R_0 & = & 1 & R_0(1) & = & 1 & = 1 \\ R_1 & = & \left( R_0 g \right)' = \left( g_0 \right)' = g_1 & R_1(1) & = & \frac{1!}{2^{\lfloor 1/2 \rfloor}} \times 0 & = 0 \\ R_2 & = & \left( R_1 g \right)' = \left( g_1 g_0 \right)' = g_2 g_0 + g_1^2 & R_2(1) & = & ( \frac{2!}{2^{\lfloor 2/2 \rfloor}} \times -1)(\frac{0!}{2^{\lfloor 0/2 \rfloor}} \times +1) + (\frac{1!}{2^{\lfloor 1/2 \rfloor}} \times 0)^2 = (-1)(+1) - (0)^2 & = -1 \\ R_3 & = & \left( R_2 g \right)' = \left( (g_2 g_0 + g_1^2) g_0 \right)' = \left( g_2 g_0^2 + g_1^2 g_0 \right)' = g_3 g_0^2 + 4 g_2 g_1 g_0 + g_1^3 & R_3(1) & = & ( \frac{3!}{2^{\lfloor 3/2 \rfloor}} \times +1)(\frac{0!}{2^{\lfloor 0/2 \rfloor}} \times +1)^2 + 4 \times ( \frac{2!}{2^{\lfloor 2/2 \rfloor}} \times -1)(\frac{1!}{2^{\lfloor 1/2 \rfloor}} \times 0)(\frac{0!}{2^{\lfloor 0/2 \rfloor}} \times +1) + (\frac{1!}{2^{\lfloor 1/2 \rfloor}} \times 0)^3 = 3 \times (+1)^2 + 4 \times (-1)(0)(+1) + (0)^3 & = 3 \\ \dots \\ \end{array} \]Explications : la combinatoire à l'oeuvre côté gauche du tableau ci-dessus est celle des partitions de \( n \). Ces partitions possèdent \( n \) parties dont les tailles sont comprises entre \( 0 \) et \( n \) inclus (une fois n'est pas coutume, cela aide de faire figurer les parties de taille 0). On peut en effet dresser un parallèle entre :
\[ \begin{array}{ccc} g_1 & \mbox{ et } & 1 = 1 \\ g_2 g_0 + g_1^2 & \mbox{ et } & 2 = 2 + 0 \mbox{ ou } 2 = 1 + 1 \\ g_3 g_0^2 + 4 g_2 g_1 g_0 + g_1^3 & \mbox{ et } & 3 = 3 + 0 + 0 \mbox{ ou } 3 = 2 + 1 + 0 \mbox{ ou } 3 = 1 + 1 + 1 \\ \dots \\ \end{array} \]Voici la méthode qui permet de passer d'une génération, \( n \), à la suivante, \( n + 1 \) : pour chaque partition, on adjoint une partie de taille 0; puis on choisit une partie dont on augmente la taille de 1. Les coefficients associés à chaque partition (par exemple le \( 4 \) qui multiplie \( g_2 g_1 g_0 \)) correspondent aux nombres de façons d'obtenir ces partitions (plusieurs choix pouvant revenir au même) ; ils sont listés dans A145271. Le mécanisme est illustré ci-dessous :
Maintenant, lorsqu'on s'intéresse aux \( R_n \) évalués en \( 1 \) : le résultat est la somme des contributions de toutes les partitions de \( n \), pondérées par ces coefficients multiplicateurs (A145271) ;
La contribution d'une partition est égale au produit des contributions de ses parties. La contribution d'une partie de taille \( k \) est \( g_k(1) \). Conséquence en particulier : il suffit qu'une partition contienne une partie de taille \( 1 \), ou \( 5 \), ou un multiple de \( 4 \) plus \( 1 \), pour que la contribution de cette partition dans le calcul de \( R_n(1) \) soit \( 0 \).
\[ \bbox[white, border: 2px solid black]{ R_n(1) = \sum_{P \mbox{ partition of } n} \mbox{A145271}(n, P) \times \prod_{p \mbox{ part of } P} g_{\mbox{size}(p)}(1) }\]Une telle formule prouve que les \( R_n(1) \) sont des entiers.