Soit \( (P_n)_{n \in \mathbb{Z}} \) la famille de polynômes définie par :
\[ P_0 = 0 ; P_1 = 1 ; \forall n \in \mathbb{Z}, \mbox{ } P_{n-1} + P_{n+1} = X P_{n} \]Soit \( (t, u) \in \mathbb{R}^2 \) ;
Soit \( (p[n])_{n \in \mathbb{Z}} \) définie par :
\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \mbox{ } p[n] = P_n(t + u) \]Soit \( (a[n])_{n \in \mathbb{Z}} \) définie par :
\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \mbox{ } a[n] = t p[n] - p[n-1] \]Soit \( (b[n])_{n \in \mathbb{Z}} \) définie par :
\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \mbox{ } b[n] = (1+t) \frac{p[n]}{1 + a[n]} \]Soit 3 familles de droites, \( D = (D_m)_{m \in \mathbb{Z}} \), \( D' = (D'_n)_{n \in \mathbb{Z}} \) et \( \Delta = (\Delta_k)_{k \in \mathbb{Z}} \) définies par les équations :
\[ \left \{ \begin{array}{ccccc} D_m & : & y & = & \frac{1-a[m]}{1+a[m]} x + b[m] \\ D'_n & : & x & = & \frac{1-a[n]}{1+a[n]} y + b[n] \\ \Delta_k & : & x + y & = & b[k] \\ \end{array} \right. \]Démontrer que \( (D, D', \Delta) \) est une marelle droite additive.
On sait en calculant les coordonnées \( (x, y) \) du point d'intersection de \( D_m \) et de \( D'_n \) que :
\[ x + y = \frac{(1+a[m])b[m] + (1+a[n])b[n]}{a[m]+a[n]} \]Nous aurons affaire à une marelle si et seulement si \( x + y = b[m + n] \). Autrement dit, il faut démontrer que :
\[ \bbox[pink, 10px, border: 3px solid black]{ b[m+n] =^? \frac{(1+a[m])b[m] + (1+a[n])b[n]}{a[m]+a[n]} } (1) \]Vu la définition des \( b[n] \), on cherche à démontrer que :
\[ (1+t) \frac{p[m+n]}{1 + a[m+n]} =^? \frac{(1 + a[m]) (1+t) \frac{p[m]}{1+a[m]} + (1+a[n])(1+t)\frac{p[n]}{1+a[n]}}{a[m]+a[n]} \] \[ \bbox[pink, 10px, border: 3px solid black]{ p[m+n] (a[m]+a[n]) =^? (p[m] + p[n])(1 + a[m + n])} (2) \]Du fait de
\[ \left \{ \begin{array}{ccccc} a[ m ] & = & t p[ m ] & - & p[ m-1 ] \\ a[ n ] & = & t p[ n ] & - & p[ n-1 ] \\ a[m+n] & = & t p[m+n] & - & p[m+n-1] \\ \end{array} \right. \]Pour le membre de gauche de (2), on a :
\[ \begin{array}{ccc} p[m+n] (a[m]+a[n]) & = & p[m+n] ( t p[m] - p[m-1] + t p[n] - p[n-1] ) \\ & = & t (p[m] + p[n])p[m+n] - p[m+n] (p[m-1] + p[n-1]) \\ \end{array} \]Tandis que pour le membre de droite de (2), on a :
\[ \begin{array}{ccc} (p[m] + p[n])(1 + a[m + n]) & = & (p[m] + p[n])(1 + t p[m+n] - p[m+n-1]) \\ & = & t (p[m] + p[n])p[m+n] - (p[m] + p[n])(p[m+n-1] - 1) \\ \end{array} \]Le terme \( t (p[m] + p[n])p[m+n] \), puis le signe \( - \), s'annihilent ; l'égalité à démonter devient alors :
\[ \bbox[pink, 10px, border: 3px solid black]{ p[m+n] (p[m-1] + p[n-1]) =^? (p[m] + p[n])(p[m+n-1] - 1) } (3) \]On peut défaire la substitution \( X := t+u \) dans les \( P_n \) ; l'égalité à démontrer devient alors :
\[ \bbox[pink, 10px, border: 3px solid black]{ P_{m+n} (P_{m-1} + P_{n-1}) =^? (P_m + P_n)(P_{m+n-1} - 1) } (4) \]Il ne nous a pas échappé que les polynômes \( P_n \) étaient des polynômes de Tchebychev de seconde espèce modifiés et translatés. On entend par là que si \( U_n \) désigne l'\(n\)-ième polynôme de Tchebychev de seconde espèce (notation standard), alors :
\[ P_n(X) = U_{n-1}\left(\frac{X}{2}\right) \](le qualificatif "modifié" rend compte du \( \frac{}{2} \) et le qualificatif "translaté" du \( {}_{-1} \) ). Pour se convaincre de cette relation, comparer les relations de récurrence respectives.
La propriété fondamentale des \( U_n \), à savoir
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \forall \theta \notin \pi \mathbb{Z}, \mbox{ } U_n(\cos \theta) = \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta} \]se transpose aux \( P_n \) comme suit :
\[ \forall n \in \mathbb{Z}, \forall \theta \notin \pi \mathbb{Z}, \mbox{ } P_n(2 \cos \theta) = \frac{\sin n\theta}{\sin \theta} \]En substituant \( 2 \cos \theta \) à l'inconnue dans (4), on obtient :
\[ \bbox[pink, 10px, border: 3px solid black]{ \frac{\sin(m+n)\theta}{\sin \theta} \left (\frac{\sin(m-1)\theta}{\sin \theta} + \frac{\sin(n-1)\theta}{\sin \theta} \right) =^? \left (\frac{\sin m\theta}{\sin \theta} + \frac{\sin n\theta}{\sin \theta} \right) \left (\frac{\sin(m+n-1)\theta}{\sin \theta} - 1 \right) } (5) \]Notons \( \alpha \) et \( \beta \) les membres de gauche et de droite, respectivement, de l'équation (5). En appliquant des formules de trigonométrie connues (cf. surlignements), on obtient :
| \[ \begin{array}{cccc} \alpha \sin^2 \theta & = & \left ( \bbox[10px]{ \sin(m+n)\theta } \right ) & \left ( \bbox[lightblue, 10px]{\sin(m-1)\theta + \sin(n-1)\theta } \right) \\ & = & \left ( \bbox[10px]{ \sin(m+n)\theta } \right ) & \left ( \bbox[lightblue, 10px]{2 . \sin(\frac{m+n}{2}-1)\theta . \cos(\frac{m-n}{2})\theta } \right) \\ \end{array} \] | \[ \begin{array}{cccc} \beta \sin^2 \theta & = & \left ( \bbox[lightgreen, 10px]{ \sin m\theta + \sin n\theta } \right) & \left ( \bbox[yellow, 10px]{ \sin(m+n-1)\theta - \sin \theta } \right) \\ & = & \left ( \bbox[lightgreen, 10px]{ 2 . \sin \left ( \frac{m+n}{2} \right ) \theta . \cos \left ( \frac{m-n}{2} \right ) \theta } \right) & \left ( \bbox[yellow, 10px]{ 2 . \sin \left ( \frac{m+n}{2}-1 \right ) \theta . \cos \left ( \frac{m+n}{2} \right ) \theta } \right) \\ & = & \left ( \bbox[lightgray, 10px]{ 2 . \sin \left ( \frac{m+n}{2} \right ) \theta . \cos \left ( \frac{m+n}{2} \right ) \theta } \right) & \left ( \bbox[10px]{ 2 . \sin \left ( \frac{m+n}{2}-1 \right ) \theta . \cos \left ( \frac{m-n}{2} \right ) \theta } \right) \\ & = & \left ( \bbox[lightgray, 10px]{ \sin (m+n) \theta } \right ) & \left ( \bbox[10px]{ 2 . \sin \left ( \frac{m+n}{2}-1 \right ) \theta . \cos \left ( \frac{m-n}{2} \right ) \theta } \right) \\ \end{array} \] |
\( \alpha \sin^2 \theta \) et \( \beta \sin^2 \theta \) sont donc EGAUX.
On remonte les étapes, on remplace tous les \( =^? \) par des \( = \) (toutes les formules sur fond rose sont démontrées), et on conclut.
\( (D, D', \Delta) \) est bien une marelle droite additive. \( \square \)
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