Recherches sur les marelles

Nous nous intéressons à des dessins faits de droites numérotées qui s'entrecroisent selon des règles précises.

Ceci est un brouillon et part dans tous les sens... Il faudra que j'y remette de l'ordre un de ces jours ...

1. Définitions : marelles

	Définition	Exemple
Marelle additive	Nous appellerons marelle additive un triplet \( (D, D', \Delta) \) de familles de droites, D = \( (D_m)_{m \in M} \), D' = \( (D'_n)_{n \in N} \), et \( \Delta = (\Delta_k)_{k \in K} \), tel que pour tout \( m \) et tout \( n \) : \[ D_m \cap D'_n \subset \Delta_{m+n} \]		... les 3 familles de droites ... \[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : y = 3x - m } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = n - x } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : x = \frac{k}{4} } \] ... forment une marelle additive.
Marelle multiplicative	Même définition que ci-dessus, à ceci près qu'on remplace la dernière ligne par : \[ D_m \cap D'_n \subset \Delta_{m \times n} \]		... les 3 familles de droites ... \[ \bbox[pink, 3px, border: 3px solid red]{ D_m : y = m(m + x) } \] \[ \bbox[lightblue, 3px, border: 3px solid blue]{ D'_n : y = n(n - x) } \] \[ \bbox[lightgreen, 3px, border: 3px solid green]{ \Delta_k : y = k } \] ... forment une marelle multiplicative.

Les idées qui motivent cette définition sont :

• qu'à chaque nombre \( n \) corresponde dans la marelle \( (D, D', \Delta) \) un triplet de droites \( (D_n, D'_n, \Delta_n) \) qui le représente ;
• qu'une marelle est une sorte de morphisme, qui reporte une opération numérique (addition ou multiplication de nombres) sur une opération géométrique (intersection de droites).

2. Passage d'une marelle additive à une marelle multiplicative, et vice versa

On peut utiliser les fonctions \( \ln \) et \( \exp \) (ou des fonctions qui leur sont proportionnelles comme \( \log_{10} \) ou \( 2^x \) ) pour effectuer des changements de variables sur les indices, ce qui revient à renuméroter les droites.

Grâce aux équations fonctionnelles \( \ln(m n) = \ln(m) + \ln(n) \) et \( \exp(m + n) = \exp(m) \exp(n) \), on peut transformer une marelle additive en marelle multiplicative, et vice versa.

(ce faisant, on compose deux morphismes : le morphisme numérico-numérique de la renumérotation et le morphisme numérico-géométrique de la marelle)

Dans la suite de cette étude, sauf mention explicite du contraire, nous ne considérerons que des marelles additives.

3. Définition : marelle droite

Nous appellerons marelle additive droite une marelle additive telle que

• \( D_0 \) est l'axe des \( x \),
• pour tout \( n \), \( D'_n \) est la droite symétrique de \( D_n \) par rapport à l'axe d'équation \( y = x \).

Nous appellerons marelle multiplicative droite une marelle multiplicative telle que

• \( D_1 \) est l'axe des \( x \),
• pour tout \( n \), \( D'_n \) est la droite symétrique de \( D_n \) par rapport à l'axe d'équation \( y = x \).

Les deux définitions peuvent être unifiées au prix d'un énoncé un peu plus abstrait : une marelle sera dite droite si

• \( D_e \) est l'axe des \( x \), où \( e \) représente le neutre de la loi de composition interne de la marelle (additive \( \leftrightarrow e = 0 \), multiplicative \( \leftrightarrow e = 1 \)),
• pour tout \( n \), \( D'_n \) est la droite symétrique de \( D_n \) par rapport à l'axe d'équation \( y = x \).

4. Quelques hypothèses de travail

Dans la suite de cette étude, sauf mention explicite du contraire, nous ne nous intéresserons qu'à des marelles droites.

Nous supposerons aussi que les marelles considérées sont ne sont pas trop "pathologiques",

• (i) chaque \( D_m \) est supposée être sécante avec chaque \( D'_n \) quitte à supposer le point d'intersection situé "à l'infini" ;
  cela signifie probablement que notre étude pour être plus rigoureuse, devrait se faire dans le cadre de la géométrie projective.
• (ii) les ensembles d'indices \( M, N, K \) dans lesquels \( m, n, k \) varient sont "coopératifs" :
  • s'il y a besoin qu'un certain nombre bien précis appartienne à \( M \) (ou à \( N \), ou à \( K \)) pour qu'une démonstration fonctionne, qu'il en soit ainsi ;
  • en particulier, s'il y a besoin que \( m \in M \implies m \in N \), qu'il en soit ainsi.
• (iii) à \( m + n \) fixé, les points symétriques \( A \) et \( B \) obtenus par \( D_{m} \cap D'_{n} = \{ A \} \) et \( D_{n} \cap D'_{m} = \{ B \} \) ne sont pas tous situés sur l'axe de symétrie \( y = x \) ;
  si un couple \( (m, n) \) ne convient pas, on en prend un autre... il y en a forcément un qui conviendra.

4.1 Conséquence : les \( \Delta_k \) ont pour pente : \( -1 \)

Preuve : il existe des nombres \( m \) et \( n \) tels que \( k = m + n \) et tels que \( A \) et \( B \) (notations du (iii) ci-dessus) ne soient pas confondus.

La pente de \( (AB) \) est \( -1 \). Donc la pente de \( \Delta_k \) est \( -1 \). \( \square \)

5. Notations

Pour une marelle (additive, droite) nous utiliserons les équations de droites suivantes :

Il peut paraître étrange de définir le coefficient directeur comme étant \( \frac{1-a[m]}{1+a[m]} \) et non tout simplement \( a[m] \), mais

• les calculs ultérieurs nous remercieront de ce choix grâce auquel des simplifications vont pouvoir s'effectuer ;
• \( t \to \frac{1-t}{1+t} \) est une bijection de \( \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) dans \( \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) : on ne perd pas vraiment d'information en passant du monde des coefficients directeurs à celui des \( a[n] \) ainsi définis, ou l'inverse.

(le fait qu'une homographie semble s'imposer d'elle-même renforce l'idée que cette étude devrait se faire en géométrie projective)

Il peut aussi paraître étrange d'écrire que \( \Delta_k \) a pour équation \( x + y = b[k] \), là où on envisageait peut-être \( x + y = c[k] \), avec \( c[k] \) à calculer. La raison en est que \( c[k] = b[k] \) ; esquisse d'une preuve possible :

• \( k = 0 + k \) donc l'intersection de \( D_0 \) (l'axe des \( x \), \( y = 0 \)) et de \( D'_k \) est sur \( \Delta_k \) ; autrement dit \( \Delta_k \) passe par \( (b[k], 0) \) ;
• \( k = k + 0 \) donc l'intersection de \( D_k \) et de \( D'_0 \) (l'axe des \( y \), \( x = 0 \)) est sur \( \Delta_k \) ; autrement dit \( \Delta_k \) passe par \( (0, b[k]) \) ;

6. Jouer à la marelle

Le jeu que nous nous proposons de jouer avec notre marelle est le suivant :

• supposer connus quelques \( a[m] \) et \( b[m] \) (le moins possible), pour nous permettre d'en calculer d'autres, à l'aide des propriétés de la marelle ;
• si on se retrouve bloqué à ne plus pouvoir en calculer d'autres, supposer connu(s) un ou quelques \( a[m] \) ou \( b[m] \) supplémentaires (le moins possible), pour se débloquer ;
• et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on puisse (on espère) les calculer tous de proche en proche (et sans tomber sur une contradiction).

Top départ. \( D_0 \) étant l'axe des \( x \) et son équation étant \( y = \frac{1-a[0]}{1+a[0]} x + b[0] \), les valeurs de \( a[0] \) et de \( b[0] \) sont nécessairement :

• \( a[0] = 1 \) (calculé)
• \( b[0] = 0 \) (calculé)

On connaît donc \( D_0 \), \( D'_0\) et leur point d'intersection. En vertu de \( 0 + 0 = 0 \), ce point d'intersection est sur \( \Delta_0 \), fait qu'on aurait bien voulu mettre à profit pour calculer \( b[0] \), sauf que c'est inutile, car on connaît déjà \( b[0] \). En fait, on ne peut plus progresser.

Supposons \( b[1] \neq 0 \) ; sans perte de généralité, on peut le supposer égal à \( 1 \), car une marelle dont le \( b[1] \) est différent de \( 0 \) et de \( 1 \), notons le \( \beta \), n'est jamais que l'image d'une marelle dont le \( b[1] \) vaut \( 1 \) par une homothétie de centre \( O \) (l'origine) et de rapport \( \beta \).

Nous appellerons le fait de choisir \( b[1] \) égal à \( 1 \) pour une marelle, sa "normalisation".

• \( b[1] = 1 \) (postulé)(normalisation)

Il nous faut aussi supposer \( a[1] \) connu ; baptisons-le \( t \) pour matérialiser cette connaissance :

• \( a[1] = t \) (postulé)

\( a[1] = t \) et \( b[1] = 1 \) étant connus, on connaît maintenant parfaitement \( D_1 \) et \( D'_1 \). On peut donc intersecter \( D_1 \) et \( D'_1 \), ce qui nous donne en vertu de l'égalité \( 1 + 1 = 2\), la droite \( \Delta_2 \) et par là-même, \( b[2] \).

• \( b[2] \) (calculé)

De nouveau, on ne peut plus progresser. Supposons alors \( a[2] \) également connu ; baptisons-le \( u \) :

• \( a[2] = u \) (postulé)

\( a[2] = u \) et \( b[2] \) étant maintenant tous deux connus, on connaît \( D_2 \) et \( D'_2 \).

On peut intersecter \( D_1 \) et \( D'_2 \) (ou \( D_2 \) et \( D'_1 \)), ce qui nous donne \( \Delta_3 \) et \( b[3] \) ;

• \( b[3] \) (calculé)

On peut aussi intersecter \( D_2 \) et \( D'_2 \), ce qui nous donne \( \Delta_{4} \) et \( b[4] \) ;

• \( b[4] \) (calculé)

Il ne nous manque que \( a[3] \) pour connaître \( D_3 \) ou \( D'_3 \) ; pour le calculer on peut user du fait que \( D_1 \) connue intersecte \( D'_3 \) à moitié connue sur \( \Delta_{4} \) connue ;

• \( a[3] \) (calculé)

En alternant ainsi

• des calculs en marche avant (= les 2 informations de \( D_m \) et les 2 informations de \( D'_n \) nous donnent l'unique information de \( \Delta_{m+n} \))
• et des calculs en marche arrière (= les 2 informations de \( D_m \), l'une des 2 informations de \( D'_n \), et l'unique information de \( \Delta_{m+n} \) nous donnent l'autre information de \( D'_{n} \)),

je constate qu'on arrive de proche en proche à connaître toutes les droites de la marelle, i.e. tous les \( a[m] \) et tous les \( b[m] \) pour \( m \in \mathbb{N} \).

De plus, je constate

• qu'il arrive un moment où plusieurs façons de calculer de nouveaux éléments s'offrent à moi ;
• que toutes ces façons donnent au final les mêmes résultats.

Dans ces conditions, je peux choisir une méthode de calcul de proche en proche des \( a[m] \) et des \( b[m] \) parmi une infinité de méthodes.

Celle que je choisis est celle qui me semble la plus simple, celle où, en régime permanent, le calcul des \( b[m] \) a alternativement une / deux longueur(s) d'avance sur le calcul des \( a[m] \). La voici illustrée :

Le mot "marelle" me paraît bien choisi : comme dans le jeu d'enfants, on "saute" en avant / en arrière le long de la structure imposée pour progresser vers le but.

7. Formule de la marche avant

\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ b[m + n] = \frac { (1 + a[m]) b[m] + (1 + a[n]) b[n] } { a[m] + a[n] } } \mbox{ Formule de la marche avant} \]

8. Formule de la marche arrière

\[ \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ a[n] = \frac{(1 + a[m]) b[m] + b[n] - a[m] b[m + n]}{b[m + n] - b[n]} } \mbox{ Formule de la marche arrière} \]

9. Un brin de programmation

Nous donnons ici un programme de calcul des \( a[n] \) et des \( b[n] \) pour \( n \) entier naturel compris entre \( 1 \) et \( 20 \), écrit dans le langage PARI :

		
		n=20;
		BMN(am,bm,an,bn)=((am+1)*bm+(an+1)*bn)/(am+an)
		AN(am,bm,bn,bmn)=((am+1)*bm+bn-am*bmn)/(bmn-bn)
		a=vector(n+1);b=vector(n+1);
		b[1]=1;
		a[1]=t;
		b[2]=BMN(a[1],b[1],a[1],b[1]);
		a[2]=u;
		b[3]=BMN(a[1],b[1],a[2],b[2]);
		for(i=4,n+1,c=floor(i/2);d=ceil(i/2);b[i]=BMN(a[c],b[c],a[d],b[d]);a[i-1]=AN(a[1],b[1],b[i-1],b[i]));
		for(i=1,n,print1(i," ; ",a[i]," ; ",b[i],"\n\n"))
		

Mais le résultat est décevant : on obtient des fractions rationnelles en \( t \) et \( u \) dont la complexité croît avec \( n \) et sans motif apparent. Ce sont des résultats inexploitables à mon avis. Mais que se passe-t-il si on effectue le changement de variable suivant ?

10. Première redéfinition de \( u \) et ses conséquences : \( a[2] = u t - 1 \)

10.1 Programme PARI remanié

		
		n=20;
		BMN(am,bm,an,bn)=((am+1)*bm+(an+1)*bn)/(am+an)
		AN(am,bm,bn,bmn)=((am+1)*bm+bn-am*bmn)/(bmn-bn)
		a=vector(n+1);b=vector(n+1);
		b[1]=1;
		a[1]=t;
		b[2]=BMN(a[1],b[1],a[1],b[1]);
		a[2]=u*t-1;
		b[3]=BMN(a[1],b[1],a[2],b[2]);
		for(i=4,n+1,c=floor(i/2);d=ceil(i/2);b[i]=BMN(a[c],b[c],a[d],b[d]);a[i-1]=AN(a[1],b[1],b[i-1],b[i]));
		for(i=1,n,print1(i," ; ",a[i]," ; ",b[i],"\n\n"))
		

10.2 Formules empiriques (et pour le moment : admises)

On voit clairement émerger un motif régulier : semble exister une suite de polynômes \( (P_n)_{n \in \mathbb{N}} \)

telle que

Nous regarderons d'un plus près les \( P_n \) au prochain paragraphe. On peut unifier la formule pour les \( b[n] \) ainsi :

Mais compte-tenu de la formule pour les \( a[n] \), cela revient à dire :

Démonstration de ces formules : cf. §21 !!!

11. Focus sur les polynômes \( P_n \)

Quelques recherches sur internet mènent à faire les rapprochements suivants : les \( P_n \) sont reliés aux polynômes de Fibonacci (\( F_n \)) : leurs coefficients sont les mêmes aux signes alternés près (\( + - + - \dots \) au lieu de \( + + + + \dots \)) ; les \( P_n \) sont reliés aux polynômes de Tchebychev de seconde espèce (\( U_n \)) par l'égalité : \( P_n(X) = U_{n-1}(X/2) \); certains auteurs appellent les \( P_n \) des polynômes de Tchebychev modifiés (de seconde espèce). Cf. par exemple ce papier. Les polynômes \( P_n \) sont définis par la récurrence : \[ P_0 = 0 \] \[ P_1 = 1 \] \[ \forall n \geq 2, \bbox[white, 10px, border: 3px solid black]{ P_n = X P_{n-1} - P_{n-2} } \] Pour tout \( n \geq 1 \), \( P_n \) est de degré \( n - 1 \) et possède \( n - 1 \) racines réelles. Ces racines sont les nombres : \[ 2 \cos \left ( k \frac{\pi}{n} \right ) \] pour \( k \) allant de \( 1 \) à \( n - 1 \) et \[ P_n = \prod_{k=1}^{n-1} \left ( X - 2 \cos \left ( k \frac{\pi}{n} \right ) \right ) \] La formule de récurrence satisfaite par les \( P_n \) peut être lue à l'envers, \[ \forall n \geq 2, P_{n-2} = X P_{n-1} - P_n \] On étend alors la validité de cette formule comme ceci : \[ \forall n \in \mathbb{Z}, P_{n-2} = X P_{n-1} - P_n \] ce qui revient à définir \( P_n \) pour \( n \) entier négatif également. Il est alors aisé de démontrer que l'on a : \[ P_{-n} = - P_n \] ... en d'autres termes, les signes "\( - \)" peuvent "sortir" des indices.

Illustration : \( P_7 \), ses 6 racines et un aperçu des origines "racines 14-èmes de l'unité" de ces 6 racines.

11.1 Memento polynômes de Tchebychev classiques et modifiés

De plus, \( P_{n+1} - P_{n-1} = \Omega_n \).

12. Extension aux \( n \) négatifs

\( P_n \) étant maintenant également défini pour \( n \leq 0 \), étendons le domaine de validité des formules du § 10.2 aux \( n \leq 0 \). Focalisons-nous sur celle des \( a[n] \),

En particulier,

Ce \( a[-1] = -t + u \) est à comparer à \( a[+1] = t \). Ce n'est pas symétrique : on a \( t \) d'un côté \( -t + u \) de l'autre. On aimerait avoir \( t \) d'un côté, \( u \) de l'autre.

D'où l'idée de procéder à un nouveau changement de variable "\( -t + u = u' \)". Bien sûr, on renomme \( u' \) ... \( u \).

13. Seconde redéfinition de \( u \) et ses conséquences : \( a[2] = (t + u) t - 1 \) ...

Le choix de définir \( a[2] = (t + u) t - 1 \) plutôt que \( a[2] = u t - 1 \) ne gomme pas le fait que les \( a[n] \) sont liés aux \( P_n \). Notamment, on a toujours la formule du §10.2 qui se réécrit comme ceci :

Elle est certes un soupçon plus compliquée. En revanche, on a un bénéfice certain sur cette paire de formules :

Et on a même beaucoup mieux... Observez un peu :

13.1 Propriété de symétrie pour tout \( n \)

Vocabulaire : quand cette condition est remplie, nous dirons que \( a[-n] \) et \( a[n] \) sont symétriques l'un de l'autre.

Preuve : on repart de la formule des \( a[n] \),

et on y remplace \( n \) par \( -n \),

Les signes "\( - \)" sortent des indices :

On morcelle \( P_{n+1} \) grâce à la relation de récurrence \( P_{n+1} = X P_n - P_{n-1} \),

Maintenant, comparer la formule obtenue avec celle dont on est parti,

\( a[-n] \) se calcule comme \( a[+n] \) mais avec \( u \) jouant le rôle de \( t \) et vice versa. \( \square \)

Cette symétrie entre \( a[1] \) et \( a[-1] \) nous convainc que notre choix de variables indépendantes \( (t, u) \) s'est amélioré :

• mieux vaut avoir \( t = a[1], u = a[-1] \)
• qu'avoir \( t = a[1], u = a[2] \)

En termes de discours, nous considérerons donc désormais le fait \( u = a[-1] \) comme étant la cause et le fait \( a[2] = (t + u) t - 1 \) comme étant la conséquence.

13.2 Coefficients dans les \( a[n] \)

Nommons \( p_{n,k} \) les coefficients dans \( P_n \) :

(je passe les détails) On a, quand \( n + k \) est impair :

et quand \( n + k \) est pair :

ce dont on déduit (je passe les détails) ...

... sauf pour \( a[0] \) qui vaut \( 1 \). On peut aussi décrire \( a[n] \) suivant ses antidiagonales. Pour ce faire, nous définissons pour \( p \in \mathbb{N} \) et \( 0 \leq k \leq n \in \mathbb{N} \) :

(et ces formules nous plaisent tant que nous créons au passage l'entrée A347056 sur OEIS -- le triangle \( T_3 \))

Alors :

13.3 Quelques formules

14. Formules pour les \( b[n] \), y compris pour \( n \) négatif

La formule du §10.2 se prolonge aux \( n \lt 0 \), on a donc :

On a aussi une formule de symétrie pour les \( b[n] \) :

Pour tout \( n \in \mathbb{Z} \), \( \frac{b[-n]}{1 + t} \) est le symétrique de \( - \frac{b[+n]}{1 + t} \),

TODO : démontrer cette formule

15. Avec encore d'autres notations

Soit :

Alors :

15.1 Introduction de la fonction \( \Phi \) de symétrie

Soit \( \Phi \) la fonction partant de l'ensemble des fonctions à 2 deux arguments et donnant dans ce même ensemble, et satisfaisant :

autrement dit, \( \Phi \) intervertit les rôles de \( t \) et de \( u \) et formalise ce que nous avons appelé symétrie précédemment. \( \Phi \) possède de nombreuses propriétés calculatoires sympathiques,

Les \( a[n] \) et les \( b[n] \) sont précisément des fonctions à 2 arguments : on aurait pu noter, depuis le début, \( a[n] = a[n](t, u) \), etc.

Par ailleurs, par abus de notation, nous noterons \( t \) la fonction \( (t, u) \to t \) et \( u \) la fonction \( (t, u) \to u \). Bien entendu,

Les propriétés de symétrie rencontrées jusqu'à présent s'écrivent :

Vu leur définition, les \( p[n] \) sont symétriques d'eux-mêmes,

15.2 Comparaison des numérateurs et des dénominateurs de \( \frac{b[n]}{t+1} \) et de \( \frac{b[-n]}{t+1} \)

\( \frac{b[-n]}{t + 1} \) a pour numérateur l'opposé du numérateur de \( \frac{b[n]}{t + 1} \), et a pour dénominateur le symétrique du dénominateur de \( \frac{b[n]}{t +1} \) ... à condition qu'on parle bien des numérateur et dénominateur de la bonne formule de départ.

On peut illustrer cela ainsi :

Remarque : ce facteur \( \frac{1}{t + 1} \) que l'on se traîne partout dans les formules ci-dessus tend à indiquer qu'un choix de notation plus avisé aurait pu être : \( D_m : y = \frac{1-a[m]}{1+a[m]} x + (1 + a[1])b[m] \), etc., mais je nous fais grâce de cet énième changement de notations.

16. Cartographie

Deux marelles distinctes peuvent se ressembler. Voici une liste empirique et subjective de caractéristiques susceptibles d'être communes :

Enveloppe parabolique	Enveloppe hyperbolique équilatère	Enveloppe elliptique grand axe orienté NW - SE	Enveloppe circulaire	Enveloppe elliptique grand axe orienté SW - NE
\[ t = 2/3 \] \[ u = 3/2 \]	\[ t = 1.23 \] \[ u = 1.23 \]	\[ t = 1/5 \] \[ u = 2 \]	\[ t = 1/2 \] \[ u = \sqrt{10}-3/2 = 1.66227766\dots \]	\[ t = 2/5 \] \[ u = 2 \]
Concourance mouvante sur les axes	Concourance fixe en \( (1, 0) \) et \( (0, 1) \)	Bande symétrique selon l'axe \( t + u = 1 \)	Marelle dont les \( b[n] \) sont entiers quand \( n \geq 0 \)
\[ t = 1/2 \] \[ u = 3/2 \]	\[ t = -3/4 \] \[ u = -5/4 \]	\[ t = 1 \] \[ u = 2 \]

La cartographie ci-dessous tente de rendre compte des lieux des points \( (t, u) \) tels que les marelles correspondantes ont une caractéristique en commun :

\( \bbox[#E21313, 3px]{ tu = 1 } \) : enveloppe parabolique \( \bbox[#7394EE, 3px]{ t = u } \) : enveloppe hyperbolique équilatère \( \bbox[#10BE6A, 3px]{ 2(t+u)^2 -(t-u)^2 = 8 } \) : enveloppe circulaire. Peut s'écrire \( \bbox[#10BE6A, 3px]{ u = -3t \pm 2 \sqrt{2(t^2 + 1)} } \) \( \bbox[#FD7F00, 3px]{ t + u = 2 } \) : concourance mouvante sur les axes \( \bbox[#B666D2, 3px]{ t + u = -2 } \) : concourance fixe en \( (1, 0) \) et \( (0, 1) \) \( \bbox[#FFFF00, 3px]{ (t = 1 \wedge u \geq 1) \vee (u = 1 \wedge t \geq 1) } \) : bande symétrique selon l'axe \( t + u = 1 \) \( \times \) : marelle dont les \( b[n] \) sont entiers quand \( n \geq 0 \) : \(( 1/2, 2) : 0, 1, 3, 7, 15, 31, \dots = 2^n - 1 \), cf. A000225 \(( 1/3, 3) : 0, 1, 4, 13, 40, 121, \dots = (3^n - 1) / 2 \), cf. A003462 \(( 1/4, 4) : 0, 1, 5, 21, 85, 341, \dots = (4^n - 1) / 3 \), cf. A002450 \((-1/2, -2) : 0, 1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, \dots \), cf. A001045 \((-1/3, -3) : 0, 1, -2, 7, -20, 61, -182, 547, \dots \), cf. A014983 \((-1/4, -4) : 0, 1, -3, 13, -51, 205, -819, \dots \), cf. A015521 \( \dots \forall q \in \mathbb{Z}, (1/q, q) : (q^n - 1) / (q - 1) \) \( \implies \) les q-analogues semblent tous être sur la courbe rouge

17. Focus sur le cas de l'enveloppe circulaire

Dans le cas d'une enveloppe circulaire, quelle est l'équation du cercle ? Réponse empirique : ce cercle est tangent aux 2 axes du repère et a pour équation :

avec :

Ci-contre : représentation graphique de la fonction \( \rho \) Asymptote verticale \( x = 1 \) Asymptote horizontale \( y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \) en \( + \infty \) Asymptote horizontale \( y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) en \( - \infty \)

Quelques exemples :

\[ t = -2 \]	\[ t = -1 \]	\[ t = 0 \]	\[ t = 1 \]	\[ t = 2 \]	\[ t = 3 \]	\[ t = 4 \]
\[ R = \frac{4-\sqrt{10}}{6} \]	\[ R = 0 \]	\[ R = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]	\[ R = \infty \]	\[ R = 2+\frac{\sqrt{10}}{2} \]	\[ R = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \]	\[ R = \frac{8+\sqrt{34}}{6} \]

18. Raffinement de marelle

Notre objectif est de définir les \( a[n] \) pour des \( n \) qui ne sont plus nécessairement des éléments de \( \mathbb{Z} \) : idéalement, on aimerait les connaître pour tout \( n \in \mathbb{R} \).

18.1 Cas \( n = \pm 1/2 \)

Commençons modestement en calculant \( a\left[\frac{1}{2}\right] \) et \( a\left[-\frac{1}{2}\right] \).

L'idée est la suivante : \( a\left[\frac{1}{2}\right] \) et \( a\left[-\frac{1}{2}\right] \) sont à \( a[1]=t \) et à \( a[-1]=u \) ce que \( a[1]=t \) et \( a[-1]=u \) sont à \( a[2] \) et à \( a[-2] \).

Repartons alors des résultats du §13 où il est dit que

Compte tenu de notre idée, écrivons :

Résolvons ce système d'équations d'inconnues \( a\left[\frac{1}{2}\right] \) et \( a\left[-\frac{1}{2}\right] \). Procédons par somme et différence,

Il existe \( \varepsilon \in \{ -1, 1 \} \) tel que \( a\left[\frac{1}{2}\right] + a\left[-\frac{1}{2}\right] = \varepsilon \sqrt{t + u + 2} \), où la notation avec radical \( \sqrt{} \) est abusive car selon que \( t + u + 2 \) est \( \gt 0 \), ou \( = 0 \), ou \( \lt 0 \), \( \sqrt{t + u + 2} \) est réel pur, ou nul, ou imaginaire pur.

Par somme et par différence de nouveau, on arrive à :

Avec ces formules pour \( n = \pm 1/2 \), il devient possible, on s'en doute, de calculer tous les \( a\left[n + \frac{1}{2} \right] \) et \( b\left[n + \frac{1}{2} \right] \) pour \( n \in \mathbb{Z} \).

Maintenant, on peut adopter deux points de vue :

• le point de vue selon lequel on a le droit d'utiliser des ensembles d'indices plus grands que \( \mathbb{Z} \).
  Selon ce point de vue, ce que nous venons de faire a juste consisté à prolonger la marelle \( M \) "sur place".
  C'est donc encore \( M \), d'une certaine façon, mais "raffinée", i.e. avec davantage de droites.
  En particulier, notre condition de normalisation \( b[1] = 1 \) n'a pas changé.
• le point de vue selon lequel on n'a pas le droit d'utiliser des ensembles d'indices plus grands que \( \mathbb{Z} \).
  Selon ce point de vue, ce que nous venons de faire doit plutôt être vu comme la définition d'une nouvelle marelle \( M' \) ayant pour paramètres :
  • un \( a'\left[1\right] \) choisi égal à \( a\left[\frac{1}{2}\right] \)
  • un \( a'\left[-1\right] \) choisi égal à \( a\left[-\frac{1}{2}\right] \)
  Selon ce point de vue, il semble logique de vouloir normaliser avec la formule \( b'[1] = 1 \) et donc de changer d'échelle. Cela implique (sauf cas particuliers) que \( M \) et \( M' \) ne sont pas superposables, que \( M' \) ne "raffine" pas \( M \) au sens usuel.

Nous adopterons les 2 points de vue. Cette ubiquité permet d'illustrer le raffinement d'une marelle à l'aide de la marelle obtenue par une renumérotation suivie d'une homothétie.

Exemple : cette marelle \( M \) : possède deux marelles plus fines d'un facteur \( 2 \), (on fait abstraction de l'échelle)

la marelle \( M' \) obtenue quand \[ \varepsilon = +1 \] c'est une marelle dont le raffinement semble très "naturel", avec pour \( m \) fixé, la droite \( D_{m+1/2} \) est "intermédiaire" entre \( D_m \) et \( D_{m+1} \), pour \( n \) fixé, la droite \( D'_{n+1/2} \) est "intermédiaire" entre \( D'_n \) et \( D'_{n+1} \), pour \( k \) fixé, la droite \( \Delta_{k+1/2} \) est "intermédiaire" entre \( \Delta_k \) et \( \Delta_{k+1} \).

la marelle \( M' \) obtenue quand \[ \varepsilon = -1 \] Cette marelle improbable raffine aussi la marelle de départ ! Comparée à sa soeur ci-à gauche : les droites ajoutées sont de l'autre nature (\(D_m\) au lieu de \(D'_m\) et vice versa). Et les \( \Delta_k \) ajoutées brisent le schéma initial des \( \Delta_k \).

18.2 Cas \( n = \pm 1/q \) pour \( q \in \mathbb{N}^{*} \)

La même idée que pour le cas \( n = 1/2 \) préside : \( a\left[\frac{1}{q}\right] \) et \( a\left[-\frac{1}{q}\right] \) sont à \( a[1]=t \) et à \( a[-1]=u \) ce que \( a[1]=t \) et \( a[-1]=u \) sont à \( a[q] \) et à \( a[-q] \).

Deux formules du §13.3 vont nous servir :

On les réécrit

Convenons de noter \( \overline{f} \) la fonction inverse (compositionnellement) et multivaluée d'une fonction \( f \). Alors

Petite vérification : \( q = 1 \)

\( P_{q+1} = P_2 = X, P_{q} = P_1 = 1, P_{q-1} = P_0 = 0 \)

\( P_{q+1} - P_{q-1} = X = \overline{(P_{q+1} - P_{q-1})} \)

\( a[1] = \frac{1}{2} \left ( t + u + \frac{t-u}{1} \right ) = t \checkmark \)

\( a[-1] = \frac{1}{2} \left ( t + u - \frac{t-u}{1} \right ) = u \checkmark \)

Encore faut-il inverser (compositionnellement) les \( (P_{q+1} - P_{q-1}) \) ... Pas forcément une mince affaire, si on veut rester en calcul exact/symbolique. Numériquement, c'est faisable.

En combinant les formules de calcul de \( a[p] \) avec celles de calcul de \( a\left [\frac{1}{q} \right] \), on est capable de calculer \( a\left[ \frac{p}{q} \right ]\) pour tout \( p/q \) rationnel.

(TODO: investiguer) Intuitivement, ça doit donner de belles formules en radicaux que d'obtenir le même résultat de deux façons différentes : multiplier par \( p \) d'abord, diviser par \( q \) ensuite ; ou diviser par \( q \) d'abord, multiplier par \( p \) ensuite.

19. Itérer le raffinement d'un facteur \( 2 \)

19.1 Idée

Soit une marelle \( M \) définie par son couple \( (t, u) \) et dont l'échelle des \( b[n] \) est laissée libre. (= soit la classe d'équivalence des marelles ayant le même \( (t, u) \)...)

\( M \) possède une première marelle 2 fois plus fine, celle dont le \( \varepsilon = +1 \) : notons-la \( f(M) \) ; notons également \( f \) la fonction :

\( M \) possède une seconde marelle 2 fois plus fine, celle dont le \( \varepsilon = -1 \) : il est logique de la noter \( (-f)(M) \) car \( (-f)(t, u) \) donne les bons résultats :

\( M \) possède une seule marelle 2 fois plus grossière : notons-la \( g(M) \) ; \( g(M) \) a pour couple \( (a[2], a[-2]) \) ; logiquement, on est aussi amené à noter \( g \) la fonction :

(on serait même tenté de noter \( f(M) = \sqrt{M} \), \( -f(M) = -\sqrt{M} \) et \( g(M) = M^2 \), mais cela mériterait de plus amples justifications)

Maintenant, l'idée est de partir d'un point \( (t, u) \) et d'itérer \( f \), \( -f \), ou \( g \) et d'observer où se situent les nouveaux points. Existent-ils, déjà (sont-ils bien à coordonnées réelles) ? Observe-t-on des trajectoires, des orbites ? Les points convergent-ils / divergent-ils ?

19.2 Programme adjuvant en PARI

f(v)=my(t=v[1],u=v[2],s);s=sqrt(t+u+2);[0.5*(s+(t-u)/s),0.5*(s-(t-u)/s)]
ff(v)=my(w=f(v));[-w[1],-w[2]]
g(v)=my(t=v[1],u=v[2]);[t^2+t*u-1,u^2+t*u-1]
iterate(f,v,n)=my(c=0);print(v);while(c<n,v=f(v);print(v);c++)

19.3 Résultats expérimentaux

19.4 Nature des orbites sous \( g \) : démonstration

Soit une marelle \( (t, u) \). Procédons à un changement de variable (rotation 45° + homothétie) pour que les calculs soient plus simples (axes naturels des coniques) :

Ce changement de variables vaut également pour \( (T, U) = g(t, u) \) :

On rappelle que (c'est la formule des \( a[\pm 2] \)) :

On peut écrire :

(Idée à développer : se ramener aux polynômes de Tchebychev modifiés de 1ère et de 2nde espèces, \( \Omega_n \) et \( P_n \). Cela va simplifier la démonstration. Commencer par noter que ces polynômes s'appliquent tout autant à \( \cos \) qu'à \( \cosh \). )

19.4.1 Cas \( -2 \lt t + u \lt 2 \)

Si \( t + u = x \) est compris entre \( -2 \) et \( 2 \), alors d'une part il est aisé de démontrer qu'il en va de même de \( T + U = X \), et d'autre part, il existe une unique ellipse \( E \) contenant \( (t, u) \) et dont l'équation est de la forme :

(pour une valeur bien précise de \( d \)). En variables \(x, y\) cette équation s'écrit :

Maintant, calculons la quantité \( \frac{X^2}{2^2} + \frac{Y^2}{d^2} \) : \[ \frac{X^2}{2^2} + \frac{Y^2}{d^2} = \frac{(x^2 - 2)^2}{2^2} + \frac{(xy)^2}{d^2} = \frac{x^4}{2^2} - x^2 + 1 + \frac{x^2}{d^2}\left(d^2 \left(1 - \frac{x^2}{2^2}\right)\right) = 1 \]

Cela signifie que \( (T, U) \) est lui aussi sur l'ellipse \( E \).

19.4.2 Cas \( t + u \gt 2 \)

Le même changement de variables et le même raisonnement qu'au paragraphe précédent fonctionnent, à ceci près qu'on n'a pas affaire à une ellipse ici :

• \( x \gt 2 \implies X \gt 2 \)
• il existe une unique hyperbole \( H \) contenant \( (t, u) \) et dont l'équation est de la forme \( (t+u)^2 / 2^2 - (t-u)^2 / d^2 = 1 \), (pour une valeur bien précise de \( d \))
• \( x^2/2^2 - y^2/d^2 = 1 \implies X^2/2^2 - Y^2/d^2 = 1 \)

\( (T, U) \) est lui aussi sur \( H \) (et sur la même branche que \( (t, u) \), d'ailleurs).

19.4.3 Cas \( t + u = 2 \)

Dans ce cas,

\( (T, U) \) est sur la même droite \( t + u = \mbox{constante} \) que \( (t, u) \).

19.4.4 Cas \( t + u = -2 \)

Dans ce cas,

\( (T, U) \) est sur la droite d'équation \( T + U = 2 \).

19.4.5 Cas \( t + u \lt -2 \)

Contrairement au §19.4.2,

Sinon, le raisonnement reste similaire,

• il existe une unique hyperbole \( H \) contenant \( (t, u) \) et dont l'équation est de la forme \( (t+u)^2 / 2^2 - (t-u)^2 / d^2 = 1 \), (pour une valeur bien précise de \( d \))
• \( x^2/2^2 - y^2/d^2 = 1 \implies X^2/2^2 - Y^2/d^2 = 1 \)

\( (T, U) \) est lui aussi sur \( H \) (mais sur l'autre branche de \( H \), comparé à \( (t, u) \)).

19.5 Où des angles interviennent

Dans le cas \( -2 \lt t + u \lt 2 \), la paramétrisation de l'ellipse permet d'écrire :

On cherche à déterminer le \( \Theta \) tel que

Or, sous l'effet de \( g \),

La réponse est donc que :

Dans le cas \( t + u \gt 2 \), la paramétrisation de l'hyperbole permet d'écrire :

Sous l'effet de \( g \),

La réponse est donc encore une fois que :

Je généralise sans doute un peu vite, mais les marelles ne sont que de la trigonométrie (circulaire ou hyperbolique) déguisée !

• \( g \) multiplie l'angle par un facteur \( 2 \)
• \( f \) divise l'angle par un facteur \( 2 \)
• de façon générale, les formules issues de celles pour les \( a[n] \) et \( a[-n] \) multiplient l'angle par \( n \)

19.6 Combien vaut \( d \) ?

19.6.1 Cas elliptique

19.6.2 Cas hyperbolique

20. Marelles périodiques

Marelles où les droites d'indices entiers sont en nombre fini car il existe un \( T \in \mathbb{N}^{*} \) tel que pour tout \( n \in \mathbb{Z} , (D_{n+T}, D'_{n+T}, \Delta_{n+T} ) = (D_n, D'_n, \Delta_n ) \).

Exemple 1 : \( T = 3\) : Un représentant : \( (t, u) = (2, -3) \) Lieu constaté : \( t + u = -1 \)
Exemple 2 : \( T = 7\) : Un représentant : \( (t, u) = (2.23, -0.983020396282\dots) \) Lieu constaté : ???

A DEVELOPPER

Lien avec \( t + u = 2 \cos( \dots ) \). Découle de Tchebychev...

21. Formule plus simple pour les \( b[n] \) et début de démonstration des observations du §10

Il semblerait que j'aie tourné pas mal de temps autour du pot... J'observe qu'il existe une formule beaucoup plus simple pour les \( b[n] \) !

Cette formule vient compléter un trio de formules (une pour les \(p\), une pour les \( a \) et une pour les \( b \)), ce qui me permet ENFIN de démontrer qu'avec les \( a \) et les \( b \) ainsi définis, on a affaire à une marelle (droite, additive). J'en ai fait une page dédiée,

Cf. Démonstration.

Il manque la réciproque : est-ce que toute marelle (droite, additive) (et dont le \( b[1] \neq 0 \)) a des \( a \) et \( b \) ainsi définissables ? Sujet restant ouvert pour le moment.

22. Décalage des indices

Soit une marelle droite \( M \). Notre idée est ici de déformer le plan pour que \( D_1 \) et \( D'_1 \) deviennent les \( D_0 \) et \( D'_0 \) d'une autre marelle, \( M' \).

On procède par étapes :

• translater le plan pour amener le point d'intersection de \( D_1 \) et de \( D'_1 \) à l'origine ;
• appliquer une affinité de coefficient pour le moment indéterminé dans la direction \( (1, 1) \) ;
• appliquer une affinité de coefficient pour le moment indéterminé dans la direction \( (1, -1) \) ;
• choisir les coefficients des deux affinités précédentes de telle sorte que :
  • les droites \( D_1 \) et \( D'_1 \) deviennent orthogonales ;
  • (optionnel) la droite \( D_2 \) ait pour ordonnée à l'origine : \( 1 \) (normalisation).
• Renommer les droites en diminuant les indices d'un : \( D_m \) devient \( D_{m-1} \), \( D'_n \) devient \( D'_{n-1} \), etc. Rebaptiser cette marelle : \( M' \).

22.1 Equations des droites de \( M \)

Une fois n'est pas coutume, supposons que les équations des droites de la marelle \( M \) soient de la forme :

En particulier, notons \( A = A_1 \) et \( B = B_1 \).

22.2 Coordonnées du point \( U \) d'intersection de \( D_1 \) et \( D'_1 \)

On trouve :

22.3 Equations des droites dans le repère translaté

Soit

Les droites de la marelle ont, dans le repère \( (U, x', y') \), les équations suivantes :

Avec le cas particulier :

22.4 Double affinité

Soit le changement de variables :

Autre façon de voir :

22.5 Condition d'orthogonalité de \( D_1 \) et de \( D'_1 \) dans \( (U, x'', y'') \)

On trouve :

Je redresse les axes

Il semble plus simple de définir les droites comme suit :

Propriété : la valeur de

ne dépend que de \( m + n \).

LR, 01/11/2021.